Giải phương trình \(\left| {\cos x - \sin x} \right| + 6\sin x\cos x = 1.\)

Câu hỏi số 378063:

Vận dụng

A. \(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\,k2\pi } \right\}\)

B. \(S = \left\{ {\pi + k2\pi ;\,\,k2\pi } \right\}\)

C. \(S = \left\{ {\pi + k\pi ;\,\,k\pi } \right\}\)

D. \(S = \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2};\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378063

Giải chi tiết

\(\left| {\cos x - \sin x} \right| + 6\sin x\cos x = 1. \Leftrightarrow \left| {\sin x - \cos x} \right| + 6\sin x.\cos x = 1\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(\sin x - \cos x = t\,\,\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\), khi đó ta có:

\({\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow 1 - 2\sin x.\cos x = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

Phương trình trở thành: \(\left| t \right| + 6\left( {\dfrac{{1 - {t^2}}}{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \left| t \right| + 3 - 3{t^2} = 1\,\,\,\left( 1 \right)\)

TH1: \(0 \le t \le \sqrt 2 \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow - 3{t^2} + t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 2}}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

TH2: \( - \sqrt 2 \le t < 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow - 3{t^2} - t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \sin x - \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow sin\left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2};\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.