Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x2+y2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=(1+x)(1+)+(1+y)(1+)

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 3788:

Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x²+y²=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=(1+x)(1+ $\frac{1}{y}$ )+(1+y)(1+ $\frac{1}{x}$ )

A. 3 $\sqrt{2}$ +4

B. $\sqrt{2}$ +2

C. 1+2 $\sqrt{2}$

D. 3 $\sqrt{2}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3788

Giải chi tiết

Ta viết lại: A=(x+ $\frac{1}{2x}$ )+(y+ $\frac{1}{2y}$ )+( $\frac{x}{y}$ + $\frac{y}{x}$ )+ $\frac{1}{2}$ ( $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ )+2

Áp dụng bất đẳng thức cauchy:

x+ $\frac{1}{2x}$ ≥ 2 $\sqrt{x.\frac{1}{2x}}$ = $\sqrt{2}$ , dấu "=" xảy ra khi x= $\frac{1}{2x}$ ;

y+ $\frac{1}{2y}$ ≥2 $\sqrt{y.\frac{1}{2y}}$ = $\sqrt{2}$ , dấu "=" xảy ra khi y= $\frac{1}{2y}$ ;

$\frac{x}{y}$ + $\frac{y}{x}$ ≥2, dấu "=" xảy ra khi $\frac{x}{y}$ = $\frac{y}{x}$ ;

$\frac{1}{2}$ ( $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ ) ≥ $\frac{2}{2\sqrt{xy}}$ = $\frac{1}{\sqrt{xy}}$ ≥ $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ≥ $\sqrt{2}$ , dấu "=" xảy ra khi $\frac{1}{x}$ = $\frac{1}{y}$

Vậy A=2+ $\sqrt{2}$ + $\sqrt{2}$ +2+ $\sqrt{2}$ =3 $\sqrt{2}$ +4.

Dấu "=" xảy ra <=> x,y thỏa mãn hệ $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2x}\\y=\frac{1}{2y} \\\frac{x}{y}=\frac{y}{x} \\\frac{1}{x}=\frac{1}{y}; x^{2}+y^{2}=1 \end{matrix}\right.$ <=> x=y= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ Kết luận: GTNN của A=3 $\sqrt{2}$ +4 khi x=y= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ thì A=3 $\sqrt{2}$ +4

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.