Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta ABD\) và \(\Delta BCD.\) a) Chứng

Câu hỏi số 378578:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta ABD\) và \(\Delta BCD.\)

a) Chứng minh \(MN//\left( {ACD} \right)\,\,;\,\,MN//\left( {ABC} \right)\)

b) Tìm giao tuyến \(IJ = \left( {DMN} \right) \cap \left( {ABC} \right)\,\,\left( {I \in AB,\,\,J \in BC} \right).\) Chứng minh \(IJ\parallel MN.\) Tính tỉ số \(\frac{{MN}}{{IJ}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378578

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất trọng tâm tính các tỉ số, sau đó áp dụng định lí Ta-lét đảo chứng minh \(MN\parallel AC\).

b) Xác định 2 điểm chung của \(\left( {DMN} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\). Sử dụng định lí Ta-lét đảo chứng minh \(IJ\parallel MN\) và sử dụng định lí Ta-lét để tính tỉ số \(\frac{{MN}}{{IJ}}.\)

Giải chi tiết

a) Gọi \(E\) là trung điểm của \(BD\).

Vì \(M\) là trọng tâm \(\Delta ABD \Rightarrow \frac{{EM}}{{EA}} = \frac{1}{3}\) (Tính chất trọng tâm).

Vì \(N\) là trọng tâm \(\Delta BCD \Rightarrow \frac{{EN}}{{EC}} = \frac{1}{3}\) (Tính chất trọng tâm).

\( \Rightarrow \frac{{EM}}{{EA}} = \frac{{EN}}{{EC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow MN\parallel AC\) (Định lí Ta-lét đảo).

Mà \(AC \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {ACD} \right)\).

\(AC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {ABC} \right)\).

b) Trong \(\left( {ABD} \right)\) gọi \(I = DM \cap AB\), trong \(\left( {BCD} \right)\) gọi \(J = DN \cap BC\) ta có:

\(I = DM \cap AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in DM \subset \left( {DMN} \right) \Rightarrow I \in \left( {DMN} \right)\\I \in AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {ABC} \right) \Rightarrow I\) là điểm chung thứ nhất.

\(J = DN \cap BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J \in DN \subset \left( {DMN} \right) \Rightarrow J \in \left( {DMN} \right)\\J \in BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow J \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow J \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {ABC} \right) \Rightarrow J\) là điểm chung thứ hai.

\( \Rightarrow \left( {DMN} \right) \cap \left( {ABC} \right) = IJ\).

Ta có: \(\frac{{DM}}{{DI}} = \frac{{DN}}{{DJ}} = \frac{2}{3}\) (tính chất trọng tâm) \( \Rightarrow MN\parallel IJ\) (Định lí Ta-lét đảo).

Khi đó \(\frac{{MN}}{{IJ}} = \frac{{DM}}{{DI}} = \frac{2}{3}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.