Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta ABD\) và \(\Delta BCD.\) a) Chứng
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta ABD\) và \(\Delta BCD.\)
a) Chứng minh \(MN//\left( {ACD} \right)\,\,;\,\,MN//\left( {ABC} \right)\)
b) Tìm giao tuyến \(IJ = \left( {DMN} \right) \cap \left( {ABC} \right)\,\,\left( {I \in AB,\,\,J \in BC} \right).\) Chứng minh \(IJ\parallel MN.\) Tính tỉ số \(\frac{{MN}}{{IJ}}.\)
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất trọng tâm tính các tỉ số, sau đó áp dụng định lí Ta-lét đảo chứng minh \(MN\parallel AC\).
b) Xác định 2 điểm chung của \(\left( {DMN} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\). Sử dụng định lí Ta-lét đảo chứng minh \(IJ\parallel MN\) và sử dụng định lí Ta-lét để tính tỉ số \(\frac{{MN}}{{IJ}}.\)
a) Gọi \(E\) là trung điểm của \(BD\).
Vì \(M\) là trọng tâm \(\Delta ABD \Rightarrow \frac{{EM}}{{EA}} = \frac{1}{3}\) (Tính chất trọng tâm).
Vì \(N\) là trọng tâm \(\Delta BCD \Rightarrow \frac{{EN}}{{EC}} = \frac{1}{3}\) (Tính chất trọng tâm).
\( \Rightarrow \frac{{EM}}{{EA}} = \frac{{EN}}{{EC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow MN\parallel AC\) (Định lí Ta-lét đảo).
Mà \(AC \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {ACD} \right)\).
\(AC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {ABC} \right)\).
b) Trong \(\left( {ABD} \right)\) gọi \(I = DM \cap AB\), trong \(\left( {BCD} \right)\) gọi \(J = DN \cap BC\) ta có:
\(I = DM \cap AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in DM \subset \left( {DMN} \right) \Rightarrow I \in \left( {DMN} \right)\\I \in AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {ABC} \right) \Rightarrow I\) là điểm chung thứ nhất.
\(J = DN \cap BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J \in DN \subset \left( {DMN} \right) \Rightarrow J \in \left( {DMN} \right)\\J \in BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow J \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow J \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {ABC} \right) \Rightarrow J\) là điểm chung thứ hai.
\( \Rightarrow \left( {DMN} \right) \cap \left( {ABC} \right) = IJ\).
Ta có: \(\frac{{DM}}{{DI}} = \frac{{DN}}{{DJ}} = \frac{2}{3}\) (tính chất trọng tâm) \( \Rightarrow MN\parallel IJ\) (Định lí Ta-lét đảo).
Khi đó \(\frac{{MN}}{{IJ}} = \frac{{DM}}{{DI}} = \frac{2}{3}\).
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
