Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Lấy \(M,N\) lần lượt là trung điểm

Câu hỏi số 378580:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Lấy \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(AD,BC.\) Lấy \(P\) thuộc cạnh \(SA.\)

a) Chứng minh \(CD\parallel \left( {MNP} \right)\,\,;\,\,MN\parallel \left( {SAB} \right)\)

b) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(SB\) và \(\left( {MNP} \right).\) Chứng minh \(MNQP\) là hình thang.

c) Gọi \(E\) là giao điểm hai cạnh bên của \(MNQP.\) Chứng minh \(SE//\left( {ABCD} \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378580

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(MNCD\) là hình bình hành, từ đó suy ra \(MN\parallel CD\).

b) Chứng minh \(PQ = \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAB} \right)\).

c) Chứng minh \(SE = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

Giải chi tiết

a) Ta có \(AM = MD = \frac{1}{2}AD,\,\,BN = NC = \frac{1}{2}BC\).

Mà \(AD = BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AM = MD = BN = NC\).

Xét tứ giác \(MNCD\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}MD = NC\,\,\left( {cmt} \right)\\MD\parallel ND\,\,\left( {AD\parallel BC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MNCD\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow MN\parallel CD\).

Mà \(MN \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow CD\parallel \left( {MNP} \right)\).

Ta có: \(MN\parallel CD\). Mà \(CD\parallel AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow MN\parallel AB\).

Mà \(AB \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {SAB} \right)\).

b) + Ta có: \(SB \cap \left( {MNP} \right) = Q \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}Q \in SB \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow Q \in \left( {SAB} \right)\\Q \in \left( {MNP} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow Q\) là điểm chung thứ nhất của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\).

+ \(P\) là điểm chung thứ hai của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right) = PQ\).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \supset AB\\\left( {MNP} \right) \supset MN\\AB\parallel MN\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right) = PQ\end{array} \right. \Rightarrow PQ\parallel AB\parallel MN\).

Do \(PQ\parallel MN \Rightarrow \) Tứ giác \(MNQP\) là hình thang.

c) + Ta có: \(MP \cap NQ = E \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E \in MB \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow E \in \left( {SAD} \right)\\E \in NQ \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow E \in \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow E\) là điểm chung thứ nhất của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

+ \(S\) là điểm chung thứ hai của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SE\).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \supset AD\\\left( {SBC} \right) \supset BC\\AD\parallel BC\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SE\end{array} \right. \Rightarrow SE\parallel AD\parallel BC\).

Lại có \(AD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SE\parallel \left( {ABCD} \right)\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.