Cho tứ diện \(ABCD.\) Qua điểm \(M\) trên \(AC,\) ta dựng một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)

Câu hỏi số 378582:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD.\) Qua điểm \(M\) trên \(AC,\) ta dựng một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(AB\) và \(CD.\) \(\left( \alpha \right)\) lần lượt cắt các cạnh \(BC,BD,AD\) tại \(N,P,Q.\)

a) Tứ giác \(MNPQ\) là hình gì? Trình bày cách vẽ và chứng minh.

b) Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo của tứ giác \(MNPQ.\) Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm \(O\) khi \(M\) di động trên đoạn \(AC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378582

Phương pháp giải

a) Xác định giao tuyến dựa vào yếu tố song song, chứng minh tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.

b) Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\), \(EO \cap AB = F\). Dựa vào định lí Ta-lét chứng minh \(F\) là trung điểm của \(AB\).

Giải chi tiết

a) * Tìm \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)\).

+ \(M\) là điểm chung thứ nhất.

+ \(AB \subset \left( {ABC} \right),\,\,AB\parallel \left( \alpha \right)\).

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là đường thẳng qua \(M\) và song song với \(AB\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(MN\parallel AB\,\,\left( {N \in BC} \right)\).

\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\).

* Tìm \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right)\).

+ \(M\) là điểm chung thứ nhất.

+ \(CD \subset \left( {ACD} \right),\,\,CD\parallel \left( \alpha \right)\).

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là đường thẳng qua \(M\) và song song với \(CD\).

Trong \(\left( {ACD} \right)\) kẻ \(MQ\parallel CD\,\,\left( {N \in AD} \right)\).

\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = MQ\).

* Tìm \(\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right)\).

+ \(N\) là điểm chung thứ nhất.

+ \(CD \subset \left( {BCD} \right),\,\,CD\parallel \left( \alpha \right)\).

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng qua \(N\) và song song với \(CD\).

Trong \(\left( {BCD} \right)\) kẻ \(NP\parallel CD\,\,\left( {P \in BD} \right)\).

\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = NP\).

\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = PQ\).

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tứ giác \(MNPQ\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel PQ\parallel SA\\MQ\parallel NP\parallel CD\end{array} \right. \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành.

b) \(O = MP \cap NQ \Rightarrow O\) là trung điểm của \(MP\) và \(NQ\).

Gọi \(F\) là trung điểm của \(CD\). Trong \(\left( {ACD} \right)\) gọi \(G = MQ \cap AE\), trong \(\left( {BCD} \right)\) gọi \(H = BE \cap NP\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{MG}}{{CE}} = \frac{{AG}}{{AE}} = \frac{{GQ}}{{ED}}\).

Mà \(CE = ED \Rightarrow MG = GQ \Rightarrow G\) là trung điểm của \(MQ\).

CMTT ta có: \(H\) là trung điểm của \(NP\).

\( \Rightarrow GH\parallel MN\parallel AB\). Dễ dàng chứng minh được \(MGPH\) là hình bình hành.

Mà \(O\) là trung điểm của \(MP \Rightarrow O\) cũng là trung điểm của \(GH\).

Ta có: \(G \in AE,\,\,H \in BE \Rightarrow GH \subset \left( {ABE} \right)\). Mà \(O \in GH \Rightarrow O \in \left( {ABE} \right)\).

Trong \(\left( {ABE} \right)\), gọi \(F = EO \cap AB\). Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{OG}}{{AF}} = \frac{{EO}}{{EF}} = \frac{{OH}}{{FB}}\).

Mà \(OG = OH\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow AF = FB \Rightarrow F\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có: \(ABCD\) cố định \( \Rightarrow AB,\,\,CD\) cố định \( \Rightarrow E,\,\,F\) cố đinh.

Vậy khi \(M\) di chuyển trên \(AC\) thì \(O\) di chuyển trên đoạn thẳng nối trun điểm hai cạnh \(AB\) và \(CD\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.