Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là tứ giác lồi. Gọi \(M,N\) lần lượt thuộc \(AB,CD.\)

Câu hỏi số 378583:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là tứ giác lồi. Gọi \(M,N\) lần lượt thuộc \(AB,CD.\) Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(MN\) và song song \(SA.\)

a) Xác định thiết diện của hình chóp với \(\left( \alpha \right).\)

b) Tìm điều kiện của \(MN\) để thiết diện là hình thang.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378583

Phương pháp giải

a) Xác định giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) với các mặt của hình chóp.

b) Sử dụng định lí ba đường giao tuyến.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\).

Xác định \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)\).

+ \(M\) là điểm chung thứ nhất.

+ \(\left\{ \begin{array}{l}SA \subset \left( {SAB} \right)\\SA\parallel \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) Giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( \alpha \right)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(SA\)

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(ME\parallel SA\,\,\left( {E \in SB} \right) \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = ME\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(E = MN \cap BC \Rightarrow F \in \left( {SBC} \right)\).

Trong \(\left( {SBC} \right)\) gọi \(G = EF \cap SC \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = EG\).

\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = GN\).

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tứ giác \(MNGE\).

b) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = ME\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = NG\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SK\,\,\left( {K = AB \cap CD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow ME,\,\,NG,\,\,SK\) hoặc song song, hoặc đồng quy.

Mà \(ME\parallel SA,\,\,SA \cap SK = S \Rightarrow ME\) và \(SK\) cắt nhau.

\( \Rightarrow ME,\,\,NG,\,\,SK\) đồng quy.

Để \(MNGE\) là hình thang thì \(EG\parallel MN\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = EG\\\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\end{array} \right. \Rightarrow EG,\,\,MN,\,\,BC\) hoặc song song, hoặc đồng quy.

Mà \(EG\parallel MN \Rightarrow EG\parallel MN\parallel BC\).

Vậy khi \(MN\parallel BC\) thì thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là hình thang.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.