Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình sau có nghiệm: \({\cos ^2}x +

Câu hỏi số 379857:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình sau có nghiệm: \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\).

A. \(m \in \left[ {0;3} \right]\).

B. \(m \in \left( {0;3} \right)\).

C. \(m \in \left( {0;3} \right]\).

D. \(m \in \left[ {0;3} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:379857

Phương pháp giải

Đặt \(u = \sqrt {\cos x + m} \) đưa về hệ phương trình.

Tìm \(m\) để hệ có nghiệm và kết luận.

Giải chi tiết

Đặt \(u = \sqrt {\cos x + m} \), ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x + u = m\\{u^2} - \cos x = m\end{array} \right.\) . Trừ vế theo vế ta được

\({\cos ^2}x - {u^2} + u + \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {u + \cos x} \right)\left( {\cos x - u + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = - \cos x\\u = \cos x + 1\end{array} \right.\)

*) \(u = \cos x + 1\), ta được \(\sqrt {m + \cos x} = \cos x + 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m + \cos x = {\left( {\cos x + 1} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow m = {\cos ^2}x + \cos x + 1\).

Đặt \(t = \cos x\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\) ta được \(m = {t^2} + t + 1 = f\left( t \right)\).

Bảng biến thiên:

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \) \(\dfrac{3}{4} \le m \le 3\).

*) \(u = - \cos x\), ta được \(\sqrt {m + \cos x} = - \cos x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \cos x \ge 0\\m + \cos x = {\cos ^2}x\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \le 0\\m = {\cos ^2}x - \cos x\end{array} \right.\)

Đặt \(t = \cos x\left( { - 1 \le t \le 0} \right)\) ta được \(m = {t^2} - t\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^2} - t\) trong đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\) ta có bảng biến thiên:

Phương trình có nghiệm\( \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\).

Kết hợp với TH1 ta được \(0 \le m \le 3\).

Vậy \(m \in \left[ {0;3} \right]\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.