Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {BA < BC} \right)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right)\).
Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {BA < BC} \right)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right)\). Vẽ đường tròn \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\) và \(C\) sao cho \(\left( Q \right)\) cắt các tia đối của tia \(AB\) và \(CB\) lần lượt tại các điểm thứ hai là \(D\) và \(E\). Gọi \(M\) là giao điểm thứ hai của đường tròn \(\left( O \right)\) và đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BDE\). Chứng minh: \(QM \bot BM\).
Quảng cáo
Áp dụng linh hoạt các tính chất của tứ giác nội tiếp.
Gọi\(BM \cap DE = \left\{ H \right\}\)
+ Ta có các tứ giác \(MBAC\) và \(CADE\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle CMB = \angle DAC = \angle CEH\) (Góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
\( \Rightarrow MCEH\)là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện bằng nhau).
+ Mà \(ECAD\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle ECH = \angle EMH = \angle EDA = {180^0} - \angle ACE\).
\( \Rightarrow \angle ECH + \angle ACE = {180^0} \Rightarrow A,\,\,C,\,\,H\) thẳng hàng.
+ Ta có: \(\angle CMH = \angle CED = \angle CAB\) (Góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
\(\angle CED = \angle DMB\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\))
Vì vậy \(\angle DMB = \angle CMH = \angle CAB.\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\angle DMB + \angle CMH + \angle DMC = \angle BMH = {180^0}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\angle DMB + \angle DMC = {180^0}\\ \Rightarrow \angle DMC = {180^0} - 2\angle DMB = {180^0} - 2\angle CAB = {180^0} - 2\angle DEC.\end{array}\)
Mà \(\angle DQC = 2\angle DEC\) (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(AD\)).
\( \Rightarrow \angle DMC = {180^0} - \angle DQC \Rightarrow \angle DMC + \angle DQC = {180^0}\)
\( \Rightarrow MDQC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle QMC = \angle QDC = \angle QCD = \angle QMD\) (Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle QMC = \angle QMD\,\,\left( 2 \right)\)
+ Từ (1) và (2) ta có: \(\angle DMB + \angle QMD = \angle CMH + \angle QMC\).
\( \Rightarrow \angle BMC = \angle CMH\).
Mà \(\angle BMC + \angle CMH = {180^0}\) (Kề bù) \( \Rightarrow \angle BMC = \angle CMH = {90^0}\).
\( \Rightarrow QM \bot BH\) hay \(QM \bot BM\) (điều phải chứng minh).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
