Một hình trụ \(\left( T \right)\) có chiều cao bằng \(a\) và \(O,O'\) lần lượt là tâm của hai

Câu hỏi số 380505:

Vận dụng

Một hình trụ \(\left( T \right)\) có chiều cao bằng \(a\) và \(O,O'\) lần lượt là tâm của hai đáy. Hai điểm \(A\) và \(B\) lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho \(AB = a\sqrt 3 \). Nếu khoảng cách giữa \(AB\) và \(OO'\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) thì thể tích của khối trụ tạo nên bởi \(\left( T \right)\) là

A. \(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\)

B. \(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{2}\)

C. \(V = \pi {a^3}\)

D. \(V = 2\pi {a^3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380505

Phương pháp giải

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng kia.

- Tính bán kính \(r\) của đường tròn đáy.

- Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng \(r\) và chiều cao bằng \(h\) là \(V = \pi .{r^2}h\).

Giải chi tiết

Giả sử \(A\) và \(B\) lần lượt nằm trên 2 đáy tâm \(O\) và \(O'\)

Hạ đường thẳng \(AD\) vuông góc với 2 đáy, với \(D \in \left( {O,r} \right)\).

Suy ra \(AD//OO'\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(DB\), tam giác \(O'BD\) có \(O'B = O'D = r\) nên tam giác \(O'BD\) cân tại \(O'\). Do vậy, \(O'I \bot BD\) (1)

\(AD\) vuông góc với 2 đáy nên \(AD \bot O'I\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O'I \bot \left( {ABD} \right)\).

Do \(AD//OO'\) nên \({d_{\left( {OO',AB} \right)}} = {d_{\left( {OO',\left( {ABD} \right)} \right)}} = {d_{\left( {O',\left( {ABD} \right)} \right)}} = O'I \Rightarrow O'I = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Áp dụng định lí Pi – ta – go ta có:

\(\begin{array}{l}A{D^2} + D{B^2} = A{B^2} \Leftrightarrow {a^2} + B{D^2} = 3{a^2}\\ \Leftrightarrow BD = \sqrt 2 a \Rightarrow IB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow r = O'B = \sqrt {O'{I^2} + I{B^2}} = a\end{array}\)

Vậy thể tích của khối trụ tạo nên bởi \(\left( T \right)\) là \(V = \pi .OO'.O'{B^2} = \pi .a.{a^2} = \pi {a^3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.