Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\). Trên nửa mặt phẳng có bờ là \(AB\) chứa

Câu hỏi số 380917:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\). Trên nửa mặt phẳng có bờ là \(AB\) chứa nửa đường tròn, vẽ tiếp tuyến \(Ax,\,\,By\). Từ điểm \(M\) tùy ý thuộc nửa đường tròn (\(M\)khác \(A,B\)) vẽ tiếp tuyến tại \(M\) cắt \(Ax,\,\,By\) lần lượt tại \(C,\,\,D\). Gọi \(E\) là giao điểm của \(CO\) và \(AM\), \(F\)là giao điểm của \(DO\) và \(BM\).

a) Chứng minh \(4\)điểm \(A,C,M,O\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \(AC + BD = CD\) và tứ giác \(MEOF\) là hình chữ nhật.

c) Chứng minh tích \(AC.BD\) không đổi khi \(M\) di động trên nửa đường tròn.

d) Tìm vị trí của \(M\) trên nửa đường tròn sao cho diện tích tứ giác \(ABDC\) nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380917

Phương pháp giải

a) Tam giác vuông nội tiếp đường tròn có đường kính là cạnh huyền của nó

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và dấu hiệu : Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

Chú ý : Tam giác nội tiếp đường tròn mà có 1 cạnh là đường kính của đường tròn thì tam giác đó là tam giác vuông.

c) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

d) Sử dụng kết quả câu b) câu c) và bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(a,b\) không âm : \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow a = b.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(4\)điểm \(A,C,M,O\) cùng thuộc một đường tròn.

Vì tam giá \(\Delta OAC\) vuông tại \(A\) nên nó nội tiếp đường tròn đường kính \(CO\) (1)

Lại có \(\Delta OMC\) vuông tại \(M\) (do \(MC\) là tiếp tuyến tại \(M\)) nên nó nội tiếp đường tròn đường kính \(CO\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow A,C,M,O\) cùng thuộc một đường tròn có đường kính \(CO\) (đpcm).

b) Chứng minh \(AC + BD = CD\) và tứ giác \(MEOF\) là hình chữ nhật.

+) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(CM\) và \(CA\) là hai tiếp tuyến cắt nhau nên \(AC = CM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Và \(DM\) và \(DB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau nên \(DM = DB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra \(AC + BD = CM + MD = CD\) (đpcm).

+) CM Tứ giác \(MEOF\) là hình chữ nhật

Ta có \(CM = CA\left( {cmt} \right);\,OM = OA = R\) nên \(OC\) là đường trung trực của đoạn \(AM \Rightarrow OC \bot AM\) tại \(E \Rightarrow \widehat {MEO} = {90^0}.\) (3)

Tương tự ta có \(\widehat {MFO} = 90^\circ \) (4)

Xét \(\Delta AMB\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AB\) là đường kính nên \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\) \( \Rightarrow \widehat {EMF} = 90^\circ \) (5)

Từ (3), (4) và (5) \( \Rightarrow \) tứ giác \(MEOF\) là hình chữ nhật (đpcm).

c) Chứng minh tích \(AC.BD\) không đổi khi \(M\) di động trên nửa đường tròn.

Do \(MEOF\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \Delta COD\) vuông tại \(O\).

Có \(CD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow MO \bot CD\) tại \(M.\)

Suy ra \(MO\) là đường cao của \(\Delta COD\), do đó \(CM.MD = O{M^2} = {R^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Từ ý a) ta có \(AC = CM;\,\,BD = MD\)\( \Rightarrow AC.BD = CM.MD = {R^2}\) (không đổi) (đpcm).

d) Tìm vị trí của \(M\) trên nửa đường tròn sao cho diện tích tứ giác \(ABDC\) nhỏ nhất.

Ta có : \(AC,BD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow AC \bot AB;\,\,\,BD \bot AB\) \( \Rightarrow AC//BD\)

Do đó: \(ABCD\) là hình thang vuông có \(AB\) là đường cao.

Khi đó ta có : \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AB\left( {AC + BD} \right)\) \( = \frac{1}{2}AB.CD\) \( = \frac{1}{2}AB\left( {AC + BD} \right)\mathop \ge \limits^{Co - si} \frac{1}{2}AB.2.\sqrt {AC.BD} = 2{R^2}\)

(do theo câu b) ta có \(CD = AC + BD\) và theo câu c) ta có\(AC.BD = {R^2}\))

Nên \(\min {S_{ABCD}} = 2{R^2} \Leftrightarrow CD = AB\) \( \Leftrightarrow CD//AB \Leftrightarrow MO \bot AB\) (do \(MO \bot CD\))

\( \Leftrightarrow M\) là điểm chính giữa của cung \(AB.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link