Xét các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a > b > 1\). Tìm gía trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của

Câu hỏi số 381140:

Vận dụng

Xét các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a > b > 1\). Tìm gía trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = {\log ^2}_{\frac{a}{b}}{a^2} + 16{\log _b}\dfrac{a}{b}.\)

A. \({P_{\min }} = 26\).

B. \({P_{\min }} = 22\).

C. \({P_{\min }} = 36\).

D. \({P_{\min }} = 32\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381140

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ.

Sử dụng đạo hàm và suy ra giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}P = \log _{\frac{a}{b}}^2{a^2} + 16{\log _b}\dfrac{a}{b}\\ \Leftrightarrow P = {\left( {2{{\log }_{\frac{a}{b}}}a} \right)^2} + 16\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{4}{{\log _a^2\dfrac{a}{b}}} + 16\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{4}{{{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}^2}}} + 16\left( {\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} - 1} \right)\end{array}\)

Đặt \({\log _a}b = t\) mà \(a > b > 1\) nên \(0 < t < 1\)

Khi đó \(P = \dfrac{1}{{{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} + 16\left( {\dfrac{1}{t} - 1} \right) \Rightarrow P' = \dfrac{8}{{{{\left( {1 - t} \right)}^3}}} - \dfrac{{16}}{{{t^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{8}{{{{\left( {1 - t} \right)}^3}}} - \dfrac{{16}}{{{t^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2{t^3} - 5{t^2} + 6t - 2 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Khi đó \({P_{\min }} = P\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 32.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.