Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA = a\sqrt 6 \) và vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Tính theo \(a\) diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\)

Câu 381297: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA = a\sqrt 6 \) và vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Tính theo \(a\) diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\)

\({a^2}\sqrt 2 \)

B. \(8\pi {a^2}\)

C. \(2\pi {a^2}\)

D. \(2{a^2}\)

Câu hỏi : 381297

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp như sau:

Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Qua tâm đường tròn đó, kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt đáy cắt mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì tại \(I\). Khi đó, \(I\) chình là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

Tính bán kính \(R\) của khối chóp.

Diện tích mặt cầu có bán kính bằng \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\)

Đáp án : B
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(I\) là trung điểm của \(SC\).

\(ABCD\) là hình vuông nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông \(ABCD\) và \(O\) là trung điểm \(AC\) và \(BD.\)

\(OI\) là đường trung bình trong tam giác \(SAC\) nên \(OI//SA\) mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OI \bot \left( {ABCD} \right)\)

\(I\) nằm trên đường thẳng qua tâm \(O\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(IA = IB = IC = ID\)

Mặt khác tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có trung tuyến \(AI\) nên \(IA = \dfrac{1}{2}SC = SI = IC\)

Suy ra \(IS = IA = IB = IC = ID\) hay \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Ta có:

\(ABCD\) là hình vuông nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = \sqrt 2 a\)

Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) nên \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {6{a^2} + 2{a^2}} = 2\sqrt 2 a\)

\( \Rightarrow R = \dfrac{1}{2}SC = \sqrt 2 a\)

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = 8\pi {a^2}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.