Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là \(\Delta ABC\) với \(AB = 2a,AC = a,\widehat {BAC} = 120^\circ

Câu hỏi số 381312:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là \(\Delta ABC\) với \(AB = 2a,AC = a,\widehat {BAC} = 120^\circ \). Góc giữa \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 7 }}{7}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 7 }}{{14}}\)

C. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 7 }}{7}\)

D. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 7 }}{{14}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381312

Phương pháp giải

Tìm góc tạo bởi 2 mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) để tìm độ dài đường cao \(AA'\)

Thể tích của khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) là \(V = AA'.{S_{ABC}}\)

Giải chi tiết

Qua \(A\) kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\) (1)

\(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Leftrightarrow AA' \bot BC\) (2)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(BC \bot \left( {AHA'} \right) \Rightarrow BC \bot A'H\)

Ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = BC\\A'H \bot BC,AH \bot BC\\A'H \subset \left( {A'BC} \right),AH \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)}\)\( = \widehat {A'H,AH} = \widehat {A'HA} = 45^\circ \)

Do đó tam giác \(A'HA\) vuông cân tại \(A\)

Tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,AC = a,\widehat {BAC} = 120^\circ \) nên ta có :

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2\cos BAC.AB.AC} = \sqrt 7 a\)

\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin BAC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}\)

Do đó \(AH = \dfrac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\)

Tam giác \(AHA'\) vuông cân tại \(A\) nên \(AA' = AH = \dfrac{{\sqrt {21} a}}{7}\)

Do đó, thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = AA'.{S_{ABC}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2} = \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{14}}{a^3}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.