Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\). Trên hai đường

Câu hỏi số 381320:

Vận dụng

Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\). Trên hai đường tròn đáy lấy hai điểm \(A,B\) sao cho góc giữa \(AB\) và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng \(45^\circ \) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(OO'\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Biết bán kính đáy bằng \(a\), thể tích của khối trụ là

A. \(V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(V = \pi {a^3}\sqrt 2 \)

C. \(V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

D. \(V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381320

Phương pháp giải

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) là khoảng cách từ một điểm nằm trên \(a\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng \(b\) và song song với đường thẳng \(a\)

Tìm góc tạo bởi \(AB\) và mặt phẳng chứa đường tròn đáy.

Tìm đường cao của hình trụ qua khoảng cách giữa \(AB\) và \(OO'\)

Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng \(a\) và chiều cao bằng \(h\) là \(V = \pi {r^2}h\)

Giải chi tiết

Giả sử \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(O,\)\(B\) nằm trên đường tròn tâm \(O'\)

Qua \(A\) kẻ đường thẳng \(AA'//OO'\) (\(A'\) nằm trên đường tròn tâm \(O'\)). Gọi \(I\) là trung điểm của \(A'B\)

\(AA'//OO' \Rightarrow AA' \bot \left( {O'A'B} \right) \Rightarrow AA' \bot O'I\)

Tam giác \(O'A'B\) có \(O'A' = O'B = r\) nên tam giác \(O'A'B\) cân tại \(O'\) hay \(O'I \bot A'B\)

Suy ra \(O'I \bot \left( {A'AB} \right)\)

Do \(AA'//OO'\) nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(OO'\) là khoảng cách từ \(O'\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'A'} \right)\). Hay \(O'I = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Ta có: \(IA' = \sqrt {O'A{'^2} - O'{I^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 a}}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 a}}{2}\)

Góc tạo bởi \(AB\) và mặt phẳng chứa đường tròn đáy là góc giữa \(AB\) và \(A'B\)(do \(AA'\) vuông góc với 2 đáy).

Do đó \(\widehat {ABA'} = 45^\circ \Rightarrow AA' = A'B = 2IA' = \sqrt 2 a\)

Vậy thể tích của hình trụ đã cho bằng \(V = \pi .O{A^2}.AA{'^2} = \pi .{a^2}.\sqrt 2 a = \sqrt 2 \pi {a^3}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.