Biết phương trình \({\log _5}x = {\log _7}\left( {x + 2} \right)\) có nghiệm duy nhất là \(x = a\), tính

Câu hỏi số 381712:

Thông hiểu

Biết phương trình \({\log _5}x = {\log _7}\left( {x + 2} \right)\) có nghiệm duy nhất là \(x = a\), tính giá trị của \({\log _5}\left( {7{a^2}} \right)\).

A. \(1 + {\log _5}7\)

B. \(4 + {\log _5}7\)

C. \({\log _5}7\)

D. \(2 + {\log _5}7\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381712

Phương pháp giải

Giải phương trình logarit đã cho để tìm giá trị của \(a\)

Thay \(a\) để tính giá trị biểu thức cần tìm.

Giải chi tiết

TXĐ : \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

Đặt \({\log _5}x = {\log _7}\left( {x + 2} \right) = t\).

Do \(x > 0 \Rightarrow x + 2 > 1 \Rightarrow t = {\log _7}\left( {x + 2} \right) > 0\)

Ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _5}x = t\\{\log _7}\left( {x + 2} \right) = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {5^t}\\x + 2 = {7^t}\end{array} \right. \Rightarrow {7^t} - {5^t} = 2\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {7^t} - {5^t}\left( {t > 0} \right)\) ta có :

\(f'\left( t \right) = \ln {7.7^t} - \ln {5.5^t} > 0,\forall t > 0\)

Suy ra hàm số \(y = f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) hay \(f\left( t \right) = 2\) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất.

Dễ thấy \(t = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình \({7^t} - {5^t} = 2\)

Suy ra \({\log _5}x = 1 \Rightarrow x = 5\) hay \(a = 5\)

Do đó \({\log _5}\left( {7{a^2}} \right) = {\log _5}7 + {\log _5}{5^2} = 2 + {\log _5}7\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.