Gọi \(M,\)\(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin

Câu hỏi số 381723:

Vận dụng

Gọi \(M,\)\(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^3}x + \cos 2x + \sin x + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\). Đặt \(P = M - m\). Khi đó, khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \(4 < P < 5\)

B. \(0 < P < 1\)

C. \(1 < P < 2\)

D. \(3 < P < 4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381723

Phương pháp giải

Đưa phương trình đã cho về 1 ẩn

Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của ẩn phụ

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn của hàm số qua cách tính đạo hàm.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = {\sin ^3}x + \cos 2x + \sin x + 2\\ = {\sin ^3}x + \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + \sin x + 2\\ = {\sin ^3}x - 2{\sin ^2}x + \sin x + 3\end{array}\)

Đặt \(t = \sin x\), \(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow t = \sin x \in \left[ {0;1} \right]\)

Khi đó, hàm số trên trở thành \(f\left( t \right) = {t^3} - 2{t^2} + t + 3\)

Xét hàm số

\(f\left( t \right) = {t^3} - 2{t^2} + t + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = 3{t^2} - 4t + 1 = \left( {3t - 1} \right)\left( {t - 1} \right)\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 3;\) \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{85}}{{27}}\); \(f\left( 1 \right) = 3\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{85}}{{27}}\\m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = f\left( 0 \right) = 3\end{array}\)

Do đó \(P = M - m = \dfrac{4}{{27}} \Leftrightarrow 0 < P < 1\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.