Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 \); \(A'C\) hợp với mp\(\left(

Câu hỏi số 381727:

Thông hiểu

Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 \); \(A'C\) hợp với mp\(\left( {ABB'A'} \right)\) một góc bằng \(30^\circ \). Thể tích khối lăng trụ đó bằng

A. \(\dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)

C. \(2\sqrt 3 {a^3}\)

D. \(\sqrt 3 {a^3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381727

Phương pháp giải

Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

Tìm góc tạo bởi \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) để tính độ dài cạnh bên của lăng trụ

Thể tích của lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) được tính bởi công thức \(V = AA'.{S_{ABC}}\)

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Do tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên \(CH \bot AB\)

\(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đều nên cạnh bên vuông góc với đáy hay \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Leftrightarrow AA' \bot CH\)

Suy ra \(CH \bot \left( {ABB'A'} \right)\)

Do đó góc tạo bởi \(A'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) là góc giữa \(A'C\) và \(A'H\) hay \(\widehat {HA'C} = 30^\circ \)

\(CH\) là đường trung bình trong tam giác đều \(ABC\) nên \(CH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.AB = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2 a = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}a\)

Tam giác \(A'HC\) vuông tại \(H\) nên \(\tan HA'C = \dfrac{{HC}}{{A'H}} \Rightarrow A'H = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}a\)

Suy ra \(AA{'^2} = \sqrt {A'{H^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a} \right)}^2}} = 2a\)

Vậy thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = AA'.{S_{ABC}} = AA'.\dfrac{1}{2}AB.CH = \dfrac{1}{2}.2a.\sqrt 2 a.\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}a = \sqrt 3 {a^3}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.