Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 \); \(A'C\) hợp với mp\(\left(
Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 \); \(A'C\) hợp với mp\(\left( {ABB'A'} \right)\) một góc bằng \(30^\circ \). Thể tích khối lăng trụ đó bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
Tìm góc tạo bởi \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) để tính độ dài cạnh bên của lăng trụ
Thể tích của lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) được tính bởi công thức \(V = AA'.{S_{ABC}}\)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Do tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên \(CH \bot AB\)
\(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đều nên cạnh bên vuông góc với đáy hay \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Leftrightarrow AA' \bot CH\)
Suy ra \(CH \bot \left( {ABB'A'} \right)\)
Do đó góc tạo bởi \(A'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) là góc giữa \(A'C\) và \(A'H\) hay \(\widehat {HA'C} = 30^\circ \)
\(CH\) là đường trung bình trong tam giác đều \(ABC\) nên \(CH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.AB = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2 a = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}a\)
Tam giác \(A'HC\) vuông tại \(H\) nên \(\tan HA'C = \dfrac{{HC}}{{A'H}} \Rightarrow A'H = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}a\)
Suy ra \(AA{'^2} = \sqrt {A'{H^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a} \right)}^2}} = 2a\)
Vậy thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = AA'.{S_{ABC}} = AA'.\dfrac{1}{2}AB.CH = \dfrac{1}{2}.2a.\sqrt 2 a.\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}a = \sqrt 3 {a^3}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
