Gọi \(M\left( {a;b} \right)\), \(b > 0\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 10}}{{x -

Câu hỏi số 381739:

Vận dụng

Gọi \(M\left( {a;b} \right)\), \(b > 0\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 10}}{{x - 3}}\) sao cho tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đó đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó hiệu \(a - b\) bằng

A. \( - 3\)

B. \( - 5\)

C. \(3\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381739

Phương pháp giải

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

Khoảng cách từ \(M\left( {a;b} \right)\) đến tiệm cận đứng \(x = c\) là \({d_1} = \left| {a - c} \right|\) và đến tiệm cận ngang \(y = d\) là \(\left| {b - d} \right|\)

Giải chi tiết

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 10}}{{x - 3}}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 3\\b = \dfrac{{2a - 10}}{{a - 3}}\end{array} \right.\)

Hàm số \(y = \dfrac{{2x - 10}}{{x - 3}}\) có tiệm cận đứng là \(x = 3\) và tiệm cận ngang là \(y = 2\)

Khoảng cách từ \(M\left( {a;b} \right)\) đến tiệm cận đứng là \({d_1} = \left| {a - 3} \right|\) và đến tiệm cận ngang là \({d_2} = \left| {b - 2} \right|\)

Tổng khoảng cách từ \(M\) đến 2 đường tiệm cận là :

\(\begin{array}{l}d = {d_1} + {d_2} = \left| {a - 3} \right| + \left| {b - 2} \right|\\ = \left| {a - 3} \right| + \left| {\dfrac{{2a - 10}}{{a - 3}} - 2} \right|\\ = \left| {a - 3} \right| + \left| {\dfrac{{2a - 10 - 2\left( {a - 3} \right)}}{{a - 3}}} \right|\\ = \left| {a - 3} \right| + \dfrac{4}{{\left| {a - 3} \right|}}\end{array}\)

Áp dụng BĐT AM – GM ta có :

\(d = \left| {a - 3} \right| + \dfrac{4}{{\left| {a - 3} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {a - 3} \right|.\dfrac{4}{{\left| {a - 3} \right|}}} = 2.2 = 4\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {a - 3} \right| = \dfrac{4}{{\left| {a - 3} \right|}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 3 = 2\\a - 3 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 5 \Rightarrow b = 0\\a = 1 \Rightarrow b = 4\end{array} \right.\)

Do \(b > 0\) nên \(M\left( {1;4} \right)\) thì tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận nhỏ nhất.

Suy ra \(a - b = - 3\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.