Biết phương trình \(\left( {2x + 1} \right)\left( {2 + \sqrt {4{x^2} + 4x + 4} } \right) + 3x\left( {2 + \sqrt

Câu hỏi số 381748:

Vận dụng

Biết phương trình \(\left( {2x + 1} \right)\left( {2 + \sqrt {4{x^2} + 4x + 4} } \right) + 3x\left( {2 + \sqrt {9{x^2} + 3} } \right) = 0\) có nghiệm duy nhất là \(a\). Khi đó:

A. \( - 2 < a < - 1\)

B. \( - 1 < a < 0\)

C. \(0 < a < 1\)

D. \(1 < a < 2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381748

Phương pháp giải

Đưa hàm số đã cho về hàm đặc trưng.

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm đặc trưng để suy ra nghiệm của phương trình đã cho.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có:

\(\left( {2x + 1} \right)\left( {2 + \sqrt {4{x^2} + 4x + 4} } \right) + 3x\left( {2 + \sqrt {9{x^2} + 3} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {2x + 1} \right) + \left( {2x + 1} \right)\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + 3} = 2.\left( { - 3x} \right) + \left( { - 3x} \right).\sqrt {{{\left( { - 3x} \right)}^2} + 3} \) (1)

Xét hàm đặc trưng: \(f\left( t \right) = 2t + t.\sqrt {{t^2} + 3} \) với \(t \in \mathbb{R}\) ta có:

\(f'\left( t \right) = 2 + \sqrt {{t^2} + 3} + t.\dfrac{{\left( {{t^2} + 3} \right)'}}{{2\sqrt {{t^2} + 3} }} = 2 + \dfrac{{{t^2}}}{{\sqrt {{t^2} + 3} }} > 0,\forall t \in \mathbb{R}\)

Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Do đó \(f\left( {{t_1}} \right) = f\left( {{t_2}} \right) \Leftrightarrow {t_1} = {t_2}\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {2x + 1} \right) = f\left( { - 3x} \right)\\ \Leftrightarrow 2x + 1 = - 3x\\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow a = - \dfrac{1}{5}\end{array}\)

Do đó \( - 1 < a < 0\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.