Tìm số nghiệm của phương trình \({e^{{x^2} + 2018 - \sqrt {{x^2} + 2017} }}.\sqrt {{x^2} + 2017} = {x^2} +

Câu hỏi số 381749:

Vận dụng

Tìm số nghiệm của phương trình \({e^{{x^2} + 2018 - \sqrt {{x^2} + 2017} }}.\sqrt {{x^2} + 2017} = {x^2} + 2018\)

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(0\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381749

Phương pháp giải

Đưa hàm số đã cho về hàm đặc trưng

Xét tính đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định để tìm nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{e^{{x^2} + 2018 - \sqrt {{x^2} + 2017} }}.\sqrt {{x^2} + 2017} = {x^2} + 2018\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{e^{{x^2} + 2018}}}}{{{e^{\sqrt {{x^2} + 2017} }}}}.\sqrt {{x^2} + 2017} = {x^2} + 2018\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{e^{{x^2} + 2018}}}}{{{x^2} + 2018}} = \dfrac{{{e^{\sqrt {{x^2} + 2017} }}}}{{\sqrt {{x^2} + 2017} }}\) (1)

Nhận thấy \(\sqrt {{x^2} + 2017} > 1;{x^2} + 2018 > 1\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = \dfrac{{{e^t}}}{t}\) với \(t > 1\) ta có:

\(f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {{e^t}} \right)'.t - t'.{e^t}}}{{{t^2}}} = \dfrac{{{e^t}\left( {t - 1} \right)}}{{{t^2}}} > 0,\forall t > 1\)

Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\). Do đó \(f\left( {{t_1}} \right) = f\left( {{t_2}} \right) \Leftrightarrow {t_1} = {t_2},\forall {t_1},{t_2} > 1\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 2018} \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2017} } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2018 = \sqrt {{x^2} + 2017} \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{x^2} + 2017} } \right)^2} - \sqrt {{x^2} + 2017} + 1 = 0\end{array}\)

Phương trình trên vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.