Số nghiệm của phương trình \({\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}}

Câu hỏi số 381815:

Vận dụng

Số nghiệm của phương trình \({\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2\) với \(x \in {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) là:

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 0.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381815

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp giải phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) bằng cách chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), sau đó đưa phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin \dfrac{x}{2}.\cos \dfrac{x}{2} + \sqrt 3 \cos x = 2\\ \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{6}} \right).\sin x + \cos \left( {\dfrac{\pi }{6}} \right).\cos x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{6} = - \dfrac{\pi }{3} + l2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + l2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k,\,\,l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Mà \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \le \pi \\0 \le - \dfrac{\pi }{6} + l2\pi \le \pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{4} \le k \le \dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{{12}} \le l \le \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\l \in \emptyset \end{array} \right..\)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.