Xét các số thực $a$ , $b$ thỏa mãn $a > b > 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất ${P_{\min }}$ của

Câu hỏi số 381844:

Vận dụng

Xét các số thực $a$ , $b$ thỏa mãn $a > b > 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất ${P_{\min }}$ của biểu thức $P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\dfrac{a}{b}} \right)$ .

${P_{\min }} = 19$ .

${P_{\min }} = 13$ .

${P_{\min }} = 14$ .

${P_{\min }} = 15$ .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381844

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất của hàm logarit.

Giải chi tiết

Ta có $P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\dfrac{a}{b}$

$\Leftrightarrow P = 4\log _{\frac{a}{b}}^2a + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)$ $\Leftrightarrow P = \dfrac{4}{{{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}^2}}} + 3\left( {\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} - 1} \right)$

Đặt ${\log _a}b = t \Rightarrow 0 < t < 1$ . Khi đó $P = \dfrac{4}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{t} - 3$

$P' = \dfrac{{ - 8}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} - \dfrac{3}{{{t^2}}} = 0$ $\Leftrightarrow 3{t^3} - {t^2} + 9t - 3 = 0$ $\Rightarrow t = \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow {P_{\min }} = 15$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.