Xét các số thực \(a\), \(b\) thỏa mãn \(a > b > 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của

Câu hỏi số 381844:

Vận dụng

Xét các số thực \(a\), \(b\) thỏa mãn \(a > b > 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\dfrac{a}{b}} \right)\).

A. \({P_{\min }} = 19\).

B. \({P_{\min }} = 13\).

C. \({P_{\min }} = 14\).

D. \({P_{\min }} = 15\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381844

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất của hàm logarit.

Giải chi tiết

Ta có \(P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\dfrac{a}{b}\)

\( \Leftrightarrow P = 4\log _{\frac{a}{b}}^2a + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow P = \dfrac{4}{{{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}^2}}} + 3\left( {\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} - 1} \right)\)

Đặt \({\log _a}b = t \Rightarrow 0 < t < 1\) . Khi đó \(P = \dfrac{4}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{t} - 3\)

\(P' = \dfrac{{ - 8}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} - \dfrac{3}{{{t^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow 3{t^3} - {t^2} + 9t - 3 = 0\) \( \Rightarrow t = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} = 15\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.