Điều kiện của \(m\) để đường thẳng \(\Delta :mx - y - 3m - 2 = 0\) cắt đường tròn \(\left( C

Câu hỏi số 383249:

Vận dụng

Điều kiện của \(m\) để đường thẳng \(\Delta :mx - y - 3m - 2 = 0\) cắt đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y = 0\) tại hai điểm phân biệt là:

A. \( - \frac{1}{2} \le m \le 2\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}m < \frac{{ - 1}}{2}\\m > 2\end{array} \right.\)

C. \( - 1 < m < 4\)

D. \( - \frac{1}{2} < m < 2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:383249

Phương pháp giải

Để biện luận số giao điểm của đường thẳng \(\Delta :Ax + By + C = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\), ta có thể thực hiện được theo các cách:

Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm \(I\) đến \(d\) với bán kính \(R\).

- Xác định tâm \(I\) và bán kính \(R\) của \(\left( C \right)\).

- Tính khoảng cách từ \(I\) đến \(\Delta \).

+) Nếu \(d\left( {I,\Delta } \right) < R\) thì \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt.

+) Nếu \(d\left( {I,\Delta } \right) = R\) thì \(d\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) .

+) Nếu \(d\left( {I,\Delta } \right) > R\) thì \(d\) và \(\left( C \right)\) không có điểm chung.

Cách 2: Tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}Ax + By + C = 0\\{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array}(*)\)

+) Hệ \((*)\) có \(2\) nghiệm \( \Leftrightarrow d\)cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt.

+) Hệ \((*)\) có \(1\) nghiệm \( \Leftrightarrow d\)tiếp xúc với \(\left( C \right)\).

+) Hệ \((*)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow d\)và\(\left( C \right)\) không có điểm chung.

Giải chi tiết

+) Xét đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y = 0\)\( \Rightarrow I\left( {2;1} \right){;^{}}R = \sqrt {{2^2} + {1^2} - 0} = \sqrt 5 \)

+) \(d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {m.2 - 1 - 3m - 2} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\left| { - m - 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\left| {m + 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\)

Để \(\Delta \) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thì:

\(d\left( {I;\Delta } \right) < R\)\( \Rightarrow \frac{{\left| {m + 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} < \sqrt 5 \)\( \Rightarrow \left| {m + 3} \right| < \sqrt {5\left( {{m^2} + 1} \right)} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {\left| {m + 3} \right|} \right)^2} < 5\left( {{m^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 9 < 5{m^2} + 5\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 6m - 4 > 0\)\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m - 2 > 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.