Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {D \in AC} \right).\) Trên

Câu hỏi số 384905:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {D \in AC} \right).\) Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BA.\)

a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta EBD\)

b) Chứng minh: \(DE = AD\) và \(DE\) vuông góc với \(BC.\)

c) Chứng minh: \(BD\) là đường trung trực của đoạn \(AE.\)

d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho \(AF = CE.\) Chứng minh ba điểm \(F,D,E\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384905

Phương pháp giải

Sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh và tính chất hai tam giác bằng nhau.

Đường trung trực của đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

Giải chi tiết

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {D \in AC} \right).\) Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BA.\)

a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta EBD\)

Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(EBD\) có:

+) \(AB = BE\left( {gt} \right)\)

+) \(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do \(BD\) là phân giác \(\widehat {ABD}\))

+) Cạnh \(BD\) chung

Suy ra \(\Delta ABD = \Delta EBD\left( {c - g - c} \right)\)

b) Chứng minh: \(DE = AD\) và \(DE\) vuông góc với \(BC.\)

Theo câu a) ta có \(\Delta ABD = \Delta EBD\left( {c - g - c} \right)\)

Nên \(DE = AD\)(hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = {90^0}\) (hai góc tương ứng)

Do đó: \(DE \bot BC.\)

c) Chứng minh: \(BD\) là đường trung trực của đoạn \(AE.\)

Gọi I là giao điểm của BD và AE.

Xét tam giác \(ABI\) và tam giác \(EBI\) có:

+) \(AB = BE\left( {gt} \right)\)

+) \(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do \(BD\) là phân giác \(\widehat {ABD}\))

+) Cạnh \(BI\) chung

Suy ra \(\Delta ABI = \Delta EBI\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow IA = IE,\widehat {BIA} = \widehat {BIE}\)

Mà \(\widehat {BIA} + \widehat {BIE} = {180^0}\) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE} = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\)

Hay \(BI \bot AE\)

Từ đó ta có \(BD \bot AE\) tại \(I\) và \(I\) là trung điểm \(AE.\)

Suy ra \(BD\) là đường trung trực của đoạn \(AE.\)

d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho \(AF = CE.\) Chứng minh ba điểm \(F,D,E\) thẳng hàng.

Theo câu b) ta có \(AD = DE\)

Xét tam giác \(ADF\) và tam giác \(EDC\) có:

+) \(AD = DE\left( {cmt} \right)\)

+) \(\widehat {FAD} = \widehat {DEC} = {90^0}\)

+) \(AF = CE\left( {gt} \right)\)

Suy ra \(\Delta ADF = \Delta EDC\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {ADF} = \widehat {CDF}\) mà \(A,D,C\) thằng hàng nên suy ra \(F,D,E\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link