Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi điểm \(M\) là trung điểm của \(AA'\)
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi điểm \(M\) là trung điểm của \(AA'\) và điểm \(N\) thuộc cạnh \(BB'\) sao cho \(BN = \dfrac{1}{3}BB'\). Đường thẳng \(C'M\) cắt đường thẳng \(CA\) tại \(D\), đường thẳng \(C'N\) cắt đường thẳng \(CB\) tại \(E\). Tính tỉ số thể tích khối đa diện lồi \(AMDBNE\) và khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Phân chia khối đa diện
Ta có: \({V_{AMDBNE}} = {V_{C'.CDE}} - {V_{CC'ABMN}}\)\( = {V_{C'.CDE}} - \left( {V - {V_{C'.A'B'NM}}} \right)\)
+) So sánh \({V_{C'.CDE}}\) với \(V\).
Ta có: \(\dfrac{{{S_{CDE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{CD}}{{CA}}.\dfrac{{CE}}{{CB}}\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{AM}}{{CC'}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow \dfrac{{CD}}{{CA}} = 2\); \(\dfrac{{EB}}{{EC}} = \dfrac{{BN}}{{CC'}} = \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{CB}} = \dfrac{3}{2}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{CDE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{CD}}{{CA}}.\dfrac{{CE}}{{CB}} = 2.\dfrac{3}{2} = 3\).
Lại có chóp \(C'.CDE\) và lăng trụ có cùng chiều cao.
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{C'.CDE}}}}{V} = \dfrac{1}{3}\dfrac{{{S_{CDE}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1 \Rightarrow {V_{C'.CDE}} = V\)
+) So sánh \({V_{C'.A'B'NM}}\) với \(V\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{S_{A'B'NM}}}}{{{S_{ABB'A'}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {A'M + B'N} \right).d\left( {A';BB'} \right)}}{{BB'.d\left( {A';BB'} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}BB' + \dfrac{2}{3}BB'} \right)}}{{BB'}} = \dfrac{7}{{12}}\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{C'.A'B'NM}}}}{{{V_{C'.ABB'A'}}}} = \dfrac{{{S_{A'B'NM}}}}{{{S_{ABB'A'}}}} = \dfrac{7}{{12}}\)\( \Rightarrow {V_{C'.A'B'NM}} = \dfrac{7}{{12}}{V_{C'.ABB'A'}}\)
Mà \({V_{C'.ABB'A'}} = \dfrac{2}{3}V\) nên \({V_{C'.A'B'NM}} = \dfrac{7}{{12}}.\dfrac{2}{3}V = \dfrac{7}{{18}}V\).
Vậy \({V_{AMDBNE}} = V - \left( {V - \dfrac{7}{{18}}V} \right) = \dfrac{7}{{18}}V\) hay \(\dfrac{{{V_{AMDBNE}}}}{V} = \dfrac{7}{{18}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
