Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi điểm \(M\) là trung điểm của \(AA'\)
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi điểm \(M\) là trung điểm của \(AA'\) và điểm \(N\) thuộc cạnh \(BB'\) sao cho \(BN = \dfrac{1}{3}BB'\). Đường thẳng \(C'M\) cắt đường thẳng \(CA\) tại \(D\), đường thẳng \(C'N\) cắt đường thẳng \(CB\) tại \(E\). Tính tỉ số thể tích khối đa diện lồi \(AMDBNE\) và khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Phân chia khối đa diện
Ta có: \({V_{AMDBNE}} = {V_{C'.CDE}} - {V_{CC'ABMN}}\)\( = {V_{C'.CDE}} - \left( {V - {V_{C'.A'B'NM}}} \right)\)
+) So sánh \({V_{C'.CDE}}\) với \(V\).
Ta có: \(\dfrac{{{S_{CDE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{CD}}{{CA}}.\dfrac{{CE}}{{CB}}\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{AM}}{{CC'}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow \dfrac{{CD}}{{CA}} = 2\); \(\dfrac{{EB}}{{EC}} = \dfrac{{BN}}{{CC'}} = \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{CB}} = \dfrac{3}{2}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{CDE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{CD}}{{CA}}.\dfrac{{CE}}{{CB}} = 2.\dfrac{3}{2} = 3\).
Lại có chóp \(C'.CDE\) và lăng trụ có cùng chiều cao.
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{C'.CDE}}}}{V} = \dfrac{1}{3}\dfrac{{{S_{CDE}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1 \Rightarrow {V_{C'.CDE}} = V\)
+) So sánh \({V_{C'.A'B'NM}}\) với \(V\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{S_{A'B'NM}}}}{{{S_{ABB'A'}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {A'M + B'N} \right).d\left( {A';BB'} \right)}}{{BB'.d\left( {A';BB'} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}BB' + \dfrac{2}{3}BB'} \right)}}{{BB'}} = \dfrac{7}{{12}}\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{C'.A'B'NM}}}}{{{V_{C'.ABB'A'}}}} = \dfrac{{{S_{A'B'NM}}}}{{{S_{ABB'A'}}}} = \dfrac{7}{{12}}\)\( \Rightarrow {V_{C'.A'B'NM}} = \dfrac{7}{{12}}{V_{C'.ABB'A'}}\)
Mà \({V_{C'.ABB'A'}} = \dfrac{2}{3}V\) nên \({V_{C'.A'B'NM}} = \dfrac{7}{{12}}.\dfrac{2}{3}V = \dfrac{7}{{18}}V\).
Vậy \({V_{AMDBNE}} = V - \left( {V - \dfrac{7}{{18}}V} \right) = \dfrac{7}{{18}}V\) hay \(\dfrac{{{V_{AMDBNE}}}}{V} = \dfrac{7}{{18}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
