Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{{2020}^x} + 1}}\). Đặt \({S_1} = f\left( 1 \right) + f\left( 2

Câu hỏi số 387108:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{{2020}^x} + 1}}\). Đặt \({S_1} = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {100} \right)\) và \({S_2} = f\left( { - 1} \right) + f\left( { - 2} \right) + ... + f\left( { - 100} \right)\). Tính \({S_1} - {S_2}\).

A. \(100\)

B. \(10100\)

C. \(200\)

D. \(5050\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:387108

Phương pháp giải

Tính \(f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)\,\,\forall x \in \left[ {1;100} \right]\) sau đó tính \({S_1} - {S_2}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{{2020}^x} + 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( { - x} \right) = \dfrac{{ - x}}{{{{2020}^{ - x}} + 1}} = \dfrac{{ - x}}{{\dfrac{1}{{{{2020}^x}}} + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - x}}{{\dfrac{{{{2020}^x} + 1}}{{{{2020}^x}}}}} = \dfrac{{ - x{{.2020}^x}}}{{{{2020}^x} + 1}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)\\ = \dfrac{x}{{{{2020}^x} + 1}} + \dfrac{{x{{.2020}^x}}}{{{{2020}^x} + 1}}\\ = \dfrac{{x + x{{.2020}^x}}}{{{{2020}^x} + 1}} = \dfrac{{x\left( {{{2020}^x} + 1} \right)}}{{{{2020}^x} + 1}} = x\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{S_1} - {S_2} = \left[ {f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {100} \right)} \right] - \left[ {f\left( { - 1} \right) + f\left( { - 2} \right) + ... + f\left( { - 100} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right)} \right] + \left[ {f\left( 2 \right) - f\left( { - 2} \right)} \right] + ... + \left[ {f\left( {100} \right) - f\left( { - 100} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + 2 + ... + 100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{100.101}}{2} = 5050\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.