Chứng minh rằng: a) \(2020 - \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{2020}}} \right) =

Câu hỏi số 387506:

Vận dụng

Chứng minh rằng:

a) \(2020 - \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{2020}}} \right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} + \ldots + \dfrac{{2019}}{{2020}}\)

b) \(\left( {1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + \ldots + \dfrac{1}{{2019}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \ldots + \dfrac{1}{{2020}}} \right) = \dfrac{1}{{1011}} + \dfrac{1}{{1012}} + \dfrac{1}{{1013}} \ldots + \dfrac{1}{{2020}}\)

c) \(\dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{n^2}}} < 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:387506

Phương pháp giải

a) Nhận xét: \(1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2};\,\,1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}; \ldots ;\,\,1 - \dfrac{1}{{2020}} = \dfrac{{2019}}{{2020}}\) .

Có 2 cách làm dạng bài tập 1:

Cách 1: Cộng vế phải với biểu thức trong dấu ngoặc ở vế trái ta được \(2020\)

Cách 2: Phân tích \(2020\) là tổng của \(2020\) số \(1\)

b) Thêm vào số bị trừ và số trừ biểu thức đúng bằng số trừ.

c) Áp dụng:

+) \(\dfrac{1}{{2.2}} < \dfrac{1}{{1.2}};\,\,\dfrac{1}{{3.3}} < \dfrac{1}{{2.3}}; \ldots ;\,\,\dfrac{1}{{n.n}} < \dfrac{1}{{\left( {n - 1} \right).n}}\)

+) \(\dfrac{1}{{\left( {n - 1} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - 1}} - \dfrac{1}{n}\)

Áp dụng: \(\dfrac{a}{b} < 1\) khi tử số nhỏ hơn mẫu số và ngược lại.

Giải chi tiết

a) \(2020 - \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{2020}}} \right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} + \ldots + \dfrac{{2019}}{{2020}}\)

Nhận xét: \(1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2};\,\,1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}; \ldots ;\,\,1 - \dfrac{1}{{2020}} = \dfrac{{2019}}{{2020}}\)

Xét vế trái:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2020 - \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\ = \left( {1 + 1 + 1 + \ldots + 1} \right) - \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\\, = 1 + 1 + 1 + \ldots + 1 - 1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} - \ldots - \dfrac{1}{{2020}}\\\, = \left( {1 - 1} \right) + \left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right) + \ldots + \left( {1 - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\\, = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} + \ldots + \dfrac{{2019}}{{2020}}.\end{array}\)

\( \Rightarrow \)Vế trái \( = \) Vế phải \( \Rightarrow \) điều cần chứng minh

Ta có:

\(\,\,\,\,\left( {1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + \ldots + \dfrac{1}{{2019}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \ldots + \dfrac{1}{{2020}}} \right)\)

\( = \left[ {\left( {1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + \ldots + \dfrac{1}{{2019}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \ldots + \dfrac{1}{{2020}}} \right)} \right] - \left[ {\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \ldots + \dfrac{1}{{2020}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \ldots + \dfrac{1}{{2020}}} \right)} \right]\)

\( = \left( {1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + \ldots + \dfrac{1}{{2019}} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \ldots + \dfrac{1}{{2020}}} \right) - 2 \cdot \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \ldots + \dfrac{1}{{2020}}} \right)\)

\( = \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{2019}} + \dfrac{1}{{2020}}} \right) - 2 \cdot \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \ldots + \dfrac{1}{{2020}}} \right)\)

\( = \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{2019}} + \dfrac{1}{{2020}}} \right) - \left( {2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{4} + 2 \cdot \dfrac{1}{6} + \ldots + 2 \cdot \dfrac{1}{{2020}}} \right)\)

\( = \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{2019}} + \dfrac{1}{{2020}}} \right) - \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{1010}}} \right)\)

\( = \left( {1 - 1} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3}} \right) + \ldots + \left( {\dfrac{1}{{1010}} - \dfrac{1}{{1010}}} \right) + \dfrac{1}{{1011}} + \dfrac{1}{{1012}} + \ldots + \dfrac{1}{{2019}} + \dfrac{1}{{2020}}\)

\( = \dfrac{1}{{1011}} + \dfrac{1}{{1012}} + \ldots + \dfrac{1}{{2019}} + \dfrac{1}{{2020}}\)

\( \Rightarrow \) Vế trái \( = \) Vế phải.

\( \Rightarrow \)đpcm.

c) \(\dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{n^2}}} < 1\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{n^2}}} = \dfrac{1}{{2.2}} + \dfrac{1}{{3.3}} + \dfrac{1}{{4.4}} + \ldots + \dfrac{1}{{n.n}} < \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + \ldots + \dfrac{1}{{\left( {n - 1} \right).n}}\)

\(\, < 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \ldots + \dfrac{1}{{n - 1}} - \dfrac{1}{n}\)

\(\, < 1 - \dfrac{1}{n}\)\(\, < \dfrac{{n - 1}}{n}\)\(\, < 1\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{n^2}}} < 1\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link