Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(4\). Hình trụ \(\left( T \right)\) có một đường tròn

Câu hỏi số 388268:

Vận dụng

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(4\). Hình trụ \(\left( T \right)\) có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD\) và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện \(ABCD\). Diện tích xung quanh của \(\left( T \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{16\sqrt 2 \pi }}{3}\)

B. \(8\sqrt 2 \pi \)

C. \(\dfrac{{16\sqrt 3 \pi }}{3}\)

D. \(8\sqrt 3 \pi \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:388268

Phương pháp giải

- Tính bán kính đường tròn nội tiếp đáy, sử dụng công thức \(r = \dfrac{S}{p}\) trong đó \(S,\,\,p\) lần lượt là diện tích và nửa chu vi của tam giác.

- Sử dụng định lí Pytago tính chiều cao của hình tứ diện.

- Diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \({S_{xq}} = 2\pi rh\).

Giải chi tiết

Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\) nên \({S_{\Delta BCD}} = \dfrac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).

Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(BCD\) ta có \(p = \dfrac{{3.4}}{2} = 6\).

Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD\) là \(r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\), đây cũng chính là bán kính đáy của hình trụ.

Gọi \(O\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) ta có \(AO \bot \left( {BCD} \right)\).

Xét tam giác vuông \(SOB\) có; \(BO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{4\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\), \(AB = 4\).

\( \Rightarrow AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {{4^2} - {{\left( {\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{4\sqrt 6 }}{3}\), đây cũng chính là chiều cao của hình trụ.

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi .\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{4\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{16\sqrt 2 \pi }}{3}\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.