Biết \(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a - \sqrt b

Câu hỏi số 388269:

Vận dụng

Biết \(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a - \sqrt b - c} \) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương. Giá trị \(a + b + c\) bằng:

A. \(24\)

B. \(12\)

C. \(18\)

D. \(46\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:388269

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biển, đặt \(t = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x\left( {x + 1} \right)} \left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}} } \).

Đặt \(t = \sqrt {x + 1} + \sqrt x \) ta có: \(dt = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt x }} = \dfrac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{{2\sqrt {x\left( {x + 1} \right)} }}dx\)

\( \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt {x\left( {x + 1} \right)} }} = \dfrac{{2dt}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }} = \dfrac{{2dt}}{t}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1 + \sqrt 2 \\x = 2 \Rightarrow t = \sqrt 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_{1 + \sqrt 2 }^{\sqrt 2 + \sqrt 3 } {\dfrac{{2dt}}{{{t^2}}}} = \left. { - \dfrac{2}{t}} \right|_{1 + \sqrt 2 }^{\sqrt 2 + \sqrt 3 }\)\( = - \dfrac{2}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{2}{{1 + \sqrt 2 }} = - 2\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)

\( = - 2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2 - 2\) \( = - 2\sqrt 3 + 4\sqrt 2 - 2\) \( = \sqrt {32} - \sqrt {12} - 2\).

\( \Rightarrow a = 32,\,\,b = 12,\,\,c = 2\).

Vậy \(a + b + c = 32 + 12 + 2 = 46\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.