Cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) có các tiêu điểm \({F_1},\,\,{F_2}\)

Câu hỏi số 389887:

Vận dụng

Cho elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) có các tiêu điểm \({F_1},\,\,{F_2}\) và \({F_2}\) có hoành độ dương. Đường thẳng \(d\) đi qua \({F_2}\) và song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất cắt \(\left( E \right)\) tại \(A,\,\,B\). Diện tích của tam giác \(AB{F_1}\) là:

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \(\frac{4}{3}\)

C. \(\frac{8}{3}\)

D. \(\frac{{16}}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389887

Phương pháp giải

+) Xác định tiêu điểm \({F_1},\,\,{F_2}\) của Elip.

+) Viết phương trình đường thẳng đi qua \({F_2}\) và song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất

+) Xác định tọa độ \(A,\,\,B\)

+) Áp dụng công thức Hê-rông để tính diện tích: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) với \(p\)là nửa chu vi của tam giác

Giải chi tiết

*) Xét elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) ta có:

+) Trục lớn \(a = 2\sqrt 2 \)

+) Trục bé \(b = 2\)

+) \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 8 - 4 = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2\\c = - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 2;\,\,0} \right),\,\,{F_2}\left( {2;\,\,0} \right)\) (Vì \({F_2}\) có hoành độ dương)

*) Viết phương trình đường thẳng \(d\)

+) Phương trình đường phân giác góc phần tư thứ nhất \(\Delta :\,\,x - y = 0\)

+) Vì đường thẳng \(d\) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất nên \({\vec n_d} = {\vec n_d} = \left( {1;\,\, - 1} \right)\)

+) Vì đường thẳng \(d\) đi qua \({F_2}\left( {2;\,\,0} \right)\) nên phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:

\(1.\left( {x - 2} \right) - 1.\left( {y - 0} \right) = 0 \Rightarrow x - 2 - y + 0 = 0 \Rightarrow x - y - 2 = 0\)

+) Tọa độ giao điểm \(A,\,\,B\) của elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) và đường thẳng \(d:\,\,x - y - 2 = 0\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\,\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\\x - y + 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{3}\\y = \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;\,\, - 2} \right),B\left( {\frac{8}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right)\)

+) \({F_1}\left( { - 2;\,\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\, - 2} \right),\,\,B\left( {\frac{8}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right)\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {\frac{8}{3} - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3} + 2} \right)}^2}} = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}\)

\(A{F_1} = \sqrt {{{\left( { - 2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 + 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \)

\(B{F_1} = \sqrt {{{\left( { - 2 - \frac{8}{3}} \right)}^2} + {{\left( {0 - \frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{10\sqrt 2 }}{3}\)

Chu vi tam giác \(AB{F_1}\) là \(\frac{{8\sqrt 2 }}{3} + 2\sqrt 2 + \frac{{10\sqrt 2 }}{3} = 8\sqrt 2 \)

Nửa chu vi tam giác \(AB{F_1}\) là \(8\sqrt 2 :2 = 4\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow S = \sqrt {4\sqrt 2 .\left( {4\sqrt 2 - \frac{{8\sqrt 2 }}{3}} \right).\left( {4\sqrt 2 - 2\sqrt 2 } \right)\left( {4\sqrt 2 - \frac{{10\sqrt 2 }}{3}} \right)} = \sqrt {4\sqrt 2 .\frac{4}{3}\sqrt 2 .2\sqrt 2 .\frac{2}{3}\sqrt 2 } = \frac{{16}}{3}\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.