Phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm \(M\left( {3;\,\,1} \right)\) đến đường tròn \(\left( C

Câu hỏi số 389888:

Vận dụng

Phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm \(M\left( {3;\,\,1} \right)\) đến đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 2 = 0\) là

A. \(\frac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\left( {x + 3} \right) + y - 1 = 0\) hoặc \(\frac{{2 - \sqrt 6 }}{2}\left( {x + 3} \right) + y - 1 = 0\)

B. \(\frac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\left( {x - 3} \right) + y - 1 = 0\) hoặc \(\frac{{2 - \sqrt 6 }}{2}\left( {x - 3} \right) + y - 1 = 0\)

C. \(\frac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\left( {x - 3} \right) + y + 1 = 0\) hoặc \(\frac{{2 - \sqrt 6 }}{2}\left( {x - 3} \right) + y + 1 = 0\)

D. \(\frac{{2 + 2\sqrt 6 }}{2}\left( {x - 3} \right) + y + 1 = 0\) hoặc \(\frac{{2 - 2\sqrt 6 }}{2}\left( {x - 3} \right) + y + 1 = 0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389888

Phương pháp giải

Đường thẳng \(\left( \Delta \right):Ax + By + C = 0\) tiếp xúc với đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R\):

\(d\left( {I;\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {A.a + B.b + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = R\)

Giải chi tiết

+) Xét đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 2 = 0\), ta có:

- Tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\)

- Bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - 2} = \sqrt 3 \)

+) Giả sử phương trình tổng quát của đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;\,\,1} \right)\) là:

\(a\left( {x - 3} \right) + b\left( {y - 1} \right) = 0\)

+) Theo đề bài, \(\left( \Delta \right)\) là tiếp tuyến kẻ từ điểm \(M\left( {3;\,\,1} \right)\) đến đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 2 = 0\) nên:

\(d\left( {I;\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {a\left( {2 - 3} \right) + b\left( { - 1 - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {a\left( {2 - 3} \right) + b\left( { - 1 - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 .\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 4ab + 4{b^2} = 3.{\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 4ab + 4{b^2} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 4ab + 4{b^2} = 3{a^2} + 3{b^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 4ab + 4{b^2} - 3{a^2} - 3{b^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow - 2{a^2} + 4ab - {b^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{a^2} - 4ab + {b^2} = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{2b + b\sqrt 6 }}{2}\\a = \frac{{2b - b\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\)

+) Chọn \(b = 1\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\\a = \frac{{2 - \sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\)

Với \(a = \frac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\); \(b = 1\). Phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) là: \(\frac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\left( {x - 3} \right) + y - 1 = 0\)

Với \(a = \frac{{2 - \sqrt 6 }}{2}\); \(b = 1\). Phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) là: \(\frac{{2 - \sqrt 6 }}{2}\left( {x - 3} \right) + y - 1 = 0\)

Vậy phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm \(M\left( {3;1} \right)\) đến đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 2 = 0\) là:

\(\frac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\left( {x - 3} \right) + y - 1 = 0\) hoặc \(\frac{{2 - \sqrt 6 }}{2}\left( {x - 3} \right) + y - 1 = 0\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10