So sánh: a) \(\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right)

Câu hỏi số 390062:

Thông hiểu

So sánh:

a) \(\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right) \ldots \left( {1 - \dfrac{1}{{20}}} \right)\) với \(\dfrac{1}{{21}}\)

b) \(\dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}}\) với \(\dfrac{3}{4}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390062

Phương pháp giải

+) Tính giá trị biểu thức ở trong ngoặc.

+) Sử dụng phương pháp rút gọn phân số.

+) Với \(a,\,\,b\) là các số dương: \(a > \,b \Rightarrow \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}.\)

Giải chi tiết

a) \(\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right).....\left( {1 - \dfrac{1}{{20}}} \right)\) với \(\dfrac{1}{{21}}.\)

Ta có:

\(\,\,\,\,\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right) \ldots \left( {1 - \dfrac{1}{{20}}} \right)\)

\( = \left( {\dfrac{2}{2} - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {\dfrac{3}{3} - \dfrac{1}{3}} \right)\left( {\dfrac{4}{4} - \dfrac{1}{4}} \right) \ldots \left( {\dfrac{{20}}{{20}} - \dfrac{1}{{20}}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \ldots \dfrac{{19}}{{20}}\)\( = \dfrac{1}{{20}} > \dfrac{1}{{21}}\) (Vì \(20 < 21\))

\( \Rightarrow \left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right) \ldots \left( {1 - \dfrac{1}{{20}}} \right) > \dfrac{1}{{21}}\)

b) \(\dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + ..... + \dfrac{1}{{{{100}^2}}}\) với \(\dfrac{3}{4}.\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{3^2}}} = \dfrac{1}{{3.3}} < \dfrac{1}{{2.3}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{{{4^2}}} = \dfrac{1}{{4.4}} < \dfrac{1}{{3.4}} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\\ \ldots \\\dfrac{1}{{{{100}^2}}} = \dfrac{1}{{100.100}} < \dfrac{1}{{99.100}} = \dfrac{1}{{99}} - \dfrac{1}{{100}}\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} < \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \ldots + \dfrac{1}{{99}} - \dfrac{1}{{100}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} < \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \ldots + \dfrac{1}{{99}} - \dfrac{1}{{100}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} < \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{100}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} < \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{{100}} < \dfrac{3}{4}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} < \dfrac{3}{4}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link