Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}}

Câu hỏi số 390068:

Vận dụng

Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} < \dfrac{1}{4}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390068

Phương pháp giải

+) Chứng minh 2 vế: \(\dfrac{1}{6}\) và \(\dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}}\); \(\dfrac{1}{4}\) và \(\dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}}\)

+) Giữ nguyên một phân số, còn các phân số sau thay bằng các phân số lớn hơn hoặc nhỏ hơn.

+) Áp dụng phương pháp tính tổng dãy phân số có quy luật.

Giải chi tiết

+) Chứng minh \(\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}}\)

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} = \dfrac{1}{{5.5}} + \dfrac{1}{{6.6}} + \ldots + \dfrac{1}{{100.100}}\\ \Rightarrow A > \dfrac{1}{{5.6}} + \dfrac{1}{{6.7}} + \ldots + \dfrac{1}{{100.101}}\\ \Rightarrow A > \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{7} + \ldots + \dfrac{1}{{100}} - \dfrac{1}{{101}}\end{array}\)

\(\, \Rightarrow A > \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{{101}}\)

\(\, \Rightarrow A\, > \dfrac{{101}}{{505}} - \dfrac{5}{{505}} = \dfrac{{96}}{{505}} > \dfrac{1}{6}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} > \dfrac{1}{6}\)

+) Chứng minh\(\dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} < \dfrac{1}{4}\)

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}}\\A = \dfrac{1}{{5.5}} + \dfrac{1}{{6.6}} + \ldots + \dfrac{1}{{100.100}}\\ \Rightarrow A < \dfrac{1}{{4.5}} + \dfrac{1}{{5.6}} + \ldots + \dfrac{1}{{99.100}}\\ \Rightarrow A < \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} + \ldots + \dfrac{1}{{99}} - \dfrac{1}{{100}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} < \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{100}} < \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} < \dfrac{1}{4}\)

Vậy \(\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{100}^2}}} < \dfrac{1}{4}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link