Chứng minh rằng: a) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{{15}}{{16}} + \ldots + \dfrac{{2499}}{{2500}} >

Câu hỏi số 390073:

Vận dụng

Chứng minh rằng:

a) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{{15}}{{16}} + \ldots + \dfrac{{2499}}{{2500}} > 48\)

b) \(\dfrac{1}{{2!}} + \dfrac{1}{{3!}} + \dfrac{1}{{4!}} + \ldots + \dfrac{1}{{100!}} < 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390073

Phương pháp giải

+) Nhóm hạng tử; Số số hạng của dãy số.

+) Áp dụng: \(n! = 1.2.3 \ldots \left( {n - 1} \right)n\)

Giải chi tiết

a) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{{15}}{{16}} + ..... + \dfrac{{2499}}{{2500}} > 48\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\dfrac{3}{4} = 1 - \dfrac{1}{4}\\\dfrac{8}{9} = 1 - \dfrac{1}{9}\\\dfrac{{15}}{{16}} = 1 - \dfrac{1}{{16}}\\ \ldots \\\dfrac{{2499}}{{2500}} = 1 - \dfrac{1}{{2500}}\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \dfrac{3}{4} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{{15}}{{18}} + \ldots + \dfrac{{2499}}{{2500}} = \left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right) + \left( {1 - \dfrac{1}{9}} \right) + \left( {1 - \dfrac{1}{{16}}} \right) + \ldots + \left( {1 - \dfrac{1}{{2500}}} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{3}{4} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{{15}}{{18}} + \ldots + \dfrac{{2499}}{{2500}}\)\( = \left( {1 + 1 + \ldots + 1} \right) - \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{{16}} + \ldots + \dfrac{1}{{2500}}} \right)\)

\(\, = \left( {1 + 1 + \ldots + 1} \right) - \left( {\dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{50}^2}}}} \right)\)

\( = 49 - \left( {\dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{{50}^2}}}} \right) > 49 - 1 = 48\)

Vậy \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{{15}}{{18}} + \ldots + \dfrac{{2499}}{{2500}} > 48\).

b) \(\dfrac{1}{{2!}} + \dfrac{1}{{3!}} + \dfrac{1}{{4!}} + ..... + \dfrac{1}{{100!}} < 1.\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{{2!}} + \dfrac{1}{{3!}} + \dfrac{1}{{4!}} + \ldots + \dfrac{1}{{100!}}\)\( = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{1.2.3.4}} + \ldots + \dfrac{1}{{1.2.3 \ldots 100}}\)

\(\, < \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \ldots + \dfrac{1}{{99.100}}\)

\( < 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{99}} - \dfrac{1}{{100}}\)

\( < 1 - \dfrac{1}{{100}} = \dfrac{{99}}{{100}} < 1\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{2!}} + \dfrac{1}{{3!}} + \dfrac{1}{{4!}} + \ldots + \dfrac{1}{{100!}} < 1\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link