Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 39022:

Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1.

Chứng minh rằng: $\tiny \left ( a+\frac{1}{b} \right )\left ( b+\frac{1}{c} \right )\left ( c+\frac{1}{a} \right )\geq \left ( \frac{10}{3} \right )^{3}$

A. Click để xem đáp án

B. Click để xem đáp án

C. Click để xem đáp án

D. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:39022

Giải chi tiết

Vì a + b + c = 1 nên M = $\tiny \left ( a+\frac{1}{b} \right )\left ( b+\frac{1}{c} \right )\left ( c+\frac{1}{a} \right )$ = $abc +\frac{1}{abc}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $\frac{1}{3}=\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$

Lại có: $abc +\frac{1}{abc}=\left ( abc+\frac{1}{27^{2}abc} \right )+\frac{27^{2}-1}{27^{2}abc}\geq 2\sqrt{abc.\frac{1}{27^{2}abc}}+\frac{27^{2}-1}{27}=\frac{730}{27}$

Mặt khác: $\tiny (a +b+c)\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )\geq 9\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9$

Suy ra M $\tiny M\geq \frac{730}{27}+9+1=\frac{1000}{27}$

Vậy $\left ( a+\frac{1}{b} \right )\left ( b+\frac{1}{c} \right )\left ( c+\frac{1}{a} \right )\geq \left ( \frac{10}{3} \right )^{3}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a $\tiny \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$ .

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.