Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn y2 ≥ xz và z2 ≥ xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = + + .

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 39027:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn y²≥ xz và z²≥ xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = $\frac{x}{x+y}$ + $\frac{y}{y+z}$ + $\frac{2014z}{z+x}$ .

A. MinP = 1008

B. MinP = 1007

C. MinP = 1006

D. MinP = 1004

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:39027

Giải chi tiết

Ta có $P=\frac{1}{1+\frac{y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{2014}{11+\frac{x}{z}}$

Đặt a = $\frac{y}{x}$ ; b = $\frac{z}{y}$ ; c = $\frac{x}{z}$ kết hợp với giả thiết ta suy ra: $\left\{\begin{matrix} a\geq b\geq c> 0 & \\ abc=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0<c\leq 1 & \\ ab\geq 1 & \end{matrix}\right.$

Khi đó $P=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{2014}{1+c}$

Ta có: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}(\sqrt{ab}-1)\geq 0$ ( đúng do ab ≥ 1)

Suy ra $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1}$ hay $P\geq \frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1}+\frac{2014}{c+1}\geq \frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1}+\frac{2014}{\sqrt{c}+1}=\frac{2014+2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1}$ vì 0< c ≤ 1=> c ≤ √c

Đặt t = √c => 0< t ≤1

Xét hàm số $f(t)=\frac{2t+2014}{t+1}$ với 0< t ≤1. Ta có hàm số f(t) liên tục trên (0;1]

f'(t) = $-\frac{2012}{(t+1)^{2}}<0,\forall t\in (0;1)$

Hàm số f(t) nghịch biến trên (0;1]. Suy ra f(t) ≥ f(1) = 1008

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1008 khi và chỉ khi x = y = z.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.