Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(G\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(AG\) cắt \(SB,\,\,SC,\,\,SD\) lần lượt tại các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\). Chứng minh rằng \(\dfrac{{BM}}{{SM}} + \dfrac{{CN}}{{SN}} + \dfrac{{DP}}{{SP}} = 1\).

Câu 390283: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(G\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(AG\) cắt \(SB,\,\,SC,\,\,SD\) lần lượt tại các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\). Chứng minh rằng \(\dfrac{{BM}}{{SM}} + \dfrac{{CN}}{{SN}} + \dfrac{{DP}}{{SP}} = 1\).

Xem lời giải

Câu hỏi : 390283

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Cho 4 điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) đồng phẳng. Với mọi điểm \(S\) mà \(\overrightarrow {SA} = b\overrightarrow {SB} + c\overrightarrow {SC} + d\overrightarrow {SD} \) thì \(b + c + d = 1\).

(5) bình luận (0) lời giải

** Viết lời giải để bạn bè cùng tham khảo ngay tại đây
Viết lời giải

Up ảnh lời giải
Viết công thức
Giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GO} \\\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GO} \end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 4\overrightarrow {GO} \).

Do đó theo giả thiết ta có: \(4\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GS} = - 4\overrightarrow {GO} \). Do đó \(G \in SO\).

Đặt \(\dfrac{{BM}}{{SM}} = m,\,\,\dfrac{{CN}}{{SN}} = n,\,\,\dfrac{{DP}}{{SP}} = p\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \left( {1 + m} \right)\overrightarrow {SM} + \left( {1 + n} \right)\overrightarrow {SN} + \left( {1 + p} \right)\overrightarrow {SB} = 4.\dfrac{5}{4}\overrightarrow {SG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \left( {1 + m} \right)\overrightarrow {SM} + \left( {1 + n} \right)\overrightarrow {SN} + \left( {1 + p} \right)\overrightarrow {SB} = 5\overrightarrow {SG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {SG} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {SA} + \dfrac{1}{5}\left( {1 + m} \right)\overrightarrow {SM} + \dfrac{1}{5}\left( {1 + n} \right)\overrightarrow {SN} + \dfrac{1}{5}\left( {1 + p} \right)\overrightarrow {SB} \end{array}\)

Do \(A,\,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,G\) đồng phẳng nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5}\left( {1 + m} \right) + \dfrac{1}{5}\left( {1 + n} \right) + \dfrac{1}{5}\left( {1 + p} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{5}\left( {1 + 1 + m + 1 + n + 1 + p} \right) = 1\\ \Leftrightarrow m + n + p + 4 = 5\\ \Leftrightarrow m + n + p = 1\end{array}\)

Vậy \(\dfrac{{BM}}{{SM}} + \dfrac{{CN}}{{SN}} + \dfrac{{DP}}{{SP}} = 1\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.