Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(G\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow

Câu hỏi số 390283:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(G\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(AG\) cắt \(SB,\,\,SC,\,\,SD\) lần lượt tại các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\). Chứng minh rằng \(\dfrac{{BM}}{{SM}} + \dfrac{{CN}}{{SN}} + \dfrac{{DP}}{{SP}} = 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390283

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất: Cho 4 điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) đồng phẳng. Với mọi điểm \(S\) mà \(\overrightarrow {SA} = b\overrightarrow {SB} + c\overrightarrow {SC} + d\overrightarrow {SD} \) thì \(b + c + d = 1\).

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GO} \\\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GO} \end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 4\overrightarrow {GO} \).

Do đó theo giả thiết ta có: \(4\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GS} = - 4\overrightarrow {GO} \). Do đó \(G \in SO\).

Đặt \(\dfrac{{BM}}{{SM}} = m,\,\,\dfrac{{CN}}{{SN}} = n,\,\,\dfrac{{DP}}{{SP}} = p\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \left( {1 + m} \right)\overrightarrow {SM} + \left( {1 + n} \right)\overrightarrow {SN} + \left( {1 + p} \right)\overrightarrow {SB} = 4.\dfrac{5}{4}\overrightarrow {SG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \left( {1 + m} \right)\overrightarrow {SM} + \left( {1 + n} \right)\overrightarrow {SN} + \left( {1 + p} \right)\overrightarrow {SB} = 5\overrightarrow {SG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {SG} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {SA} + \dfrac{1}{5}\left( {1 + m} \right)\overrightarrow {SM} + \dfrac{1}{5}\left( {1 + n} \right)\overrightarrow {SN} + \dfrac{1}{5}\left( {1 + p} \right)\overrightarrow {SB} \end{array}\)

Do \(A,\,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,G\) đồng phẳng nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5}\left( {1 + m} \right) + \dfrac{1}{5}\left( {1 + n} \right) + \dfrac{1}{5}\left( {1 + p} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{5}\left( {1 + 1 + m + 1 + n + 1 + p} \right) = 1\\ \Leftrightarrow m + n + p + 4 = 5\\ \Leftrightarrow m + n + p = 1\end{array}\)

Vậy \(\dfrac{{BM}}{{SM}} + \dfrac{{CN}}{{SN}} + \dfrac{{DP}}{{SP}} = 1\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.