Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(G\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(G\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(AG\) cắt \(SB,\,\,SC,\,\,SD\) lần lượt tại các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\). Chứng minh rằng \(\dfrac{{BM}}{{SM}} + \dfrac{{CN}}{{SN}} + \dfrac{{DP}}{{SP}} = 1\).
Quảng cáo
Sử dụng tính chất: Cho 4 điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) đồng phẳng. Với mọi điểm \(S\) mà \(\overrightarrow {SA} = b\overrightarrow {SB} + c\overrightarrow {SC} + d\overrightarrow {SD} \) thì \(b + c + d = 1\).
Gọi \(O = AC \cap BD\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GO} \\\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GO} \end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 4\overrightarrow {GO} \).
Do đó theo giả thiết ta có: \(4\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GS} = - 4\overrightarrow {GO} \). Do đó \(G \in SO\).
Đặt \(\dfrac{{BM}}{{SM}} = m,\,\,\dfrac{{CN}}{{SN}} = n,\,\,\dfrac{{DP}}{{SP}} = p\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \left( {1 + m} \right)\overrightarrow {SM} + \left( {1 + n} \right)\overrightarrow {SN} + \left( {1 + p} \right)\overrightarrow {SB} = 4.\dfrac{5}{4}\overrightarrow {SG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \left( {1 + m} \right)\overrightarrow {SM} + \left( {1 + n} \right)\overrightarrow {SN} + \left( {1 + p} \right)\overrightarrow {SB} = 5\overrightarrow {SG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {SG} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {SA} + \dfrac{1}{5}\left( {1 + m} \right)\overrightarrow {SM} + \dfrac{1}{5}\left( {1 + n} \right)\overrightarrow {SN} + \dfrac{1}{5}\left( {1 + p} \right)\overrightarrow {SB} \end{array}\)
Do \(A,\,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,G\) đồng phẳng nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5}\left( {1 + m} \right) + \dfrac{1}{5}\left( {1 + n} \right) + \dfrac{1}{5}\left( {1 + p} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{5}\left( {1 + 1 + m + 1 + n + 1 + p} \right) = 1\\ \Leftrightarrow m + n + p + 4 = 5\\ \Leftrightarrow m + n + p = 1\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{{BM}}{{SM}} + \dfrac{{CN}}{{SN}} + \dfrac{{DP}}{{SP}} = 1\,\,\left( {dpcm} \right)\).
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
