Khối chóp \(S.ABC\)có đáy tam giác vuông cân tại \(B\)và \(AB = a.\)\(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc

Câu hỏi số 390584:

Thông hiểu

Khối chóp \(S.ABC\)có đáy tam giác vuông cân tại \(B\)và \(AB = a.\)\(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc giữa cạnh bên \(SB\)và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Khi đó khoảng cách từ \(A\)đến \(\left( {SBC} \right)\)là:

A. \(\sqrt 3 a\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

- Xác định mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(A\) và vuông góc với \(\left( {SBC} \right)\).

- Trong \(\left( P \right)\) kẻ đường thẳng \(AH\) qua \(A\) và vuông góc với giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

- Chứng minh \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\), sử dụng định lí: Cho hai mặt phẳng vuông góc, nếu mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với giao tuyến thì đường thẳng đó sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

- Xác định góc giữa \(SB\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SB\) và hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính \(AH\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \supset AH \bot SB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(ABH\) ta có: \(AH = AB.\sin \angle SBA = a.\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Vậy \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn C.

Xem lời giải

Câu hỏi:390584

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.