Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

Câu hỏi số 391309:

Vận dụng cao

Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\)sao cho

\(\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 8{x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(\frac{1}{3}\).

B. \(\frac{{ - 1}}{3}\).

C. \( - \frac{1}{5}\).

D. \( - 1\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391309

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt\({x_1};{x_2}\) là \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\).

+) Sử dụng hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\) để biến đổi biểu thức đã cho và đánh giá.

Giải chi tiết

Phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow 4m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{5}{4}\,\,\)

Theo hệ thức Vi-et ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 8{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 6{x_1}{x_2}\\ = {\left( {2m + 1} \right)^2} + 6\left( {{m^2} - 1} \right) = 10{m^2} + 4m - 5\\ = 10\left( {{m^2} + \frac{2}{5}m + \frac{1}{{25}}} \right) - \frac{{27}}{5} = 10{\left( {m + \frac{1}{5}} \right)^2} - \frac{{27}}{5}\\ \Rightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 8{x_1}{x_2} \ge - \frac{{27}}{5}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \( \Leftrightarrow m + \frac{1}{5} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{5}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 8{x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(m = - \frac{1}{5}.\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link