Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = a\). Gọi \(I\) là trung

Câu hỏi số 391606:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = a\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\), tam giác \(SAC\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\), biết góc giữa \(SB\) và mặt phẳng đáy bằng \({45^0}\).

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391606

Phương pháp giải

- Chứng minh \(SI \bot \left( {ABC} \right)\).

- Góc giữa \(SB\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SB\) và hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao khối chóp.

- Thể tích khối chóp có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) là \(V = \dfrac{1}{3}B.h\).

Giải chi tiết

Vì \(\Delta SAC\) cân tại \(S\) nên \(SI \bot AC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SI \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow IB\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

\(\angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;IB} \right) = \angle SBI = {45^0}\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\), có \(AB = a\) nên \(BI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có \(SI \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SI \bot BI\), suy ra tam giác \(SIB\) vuông tại \(I\).

Lại có \(\angle SBI = {45^0}\) nên \(\Delta SIB\) vuông cân tại \(I \Rightarrow SI = IB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}{a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SI = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}}}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Chọn: A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.