Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = a\). Gọi \(I\) là trung

Câu hỏi số 391606:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = a\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\), tam giác \(SAC\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\), biết góc giữa \(SB\) và mặt phẳng đáy bằng \({45^0}\).

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391606

Phương pháp giải

- Chứng minh \(SI \bot \left( {ABC} \right)\).

- Góc giữa \(SB\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SB\) và hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao khối chóp.

- Thể tích khối chóp có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) là \(V = \dfrac{1}{3}B.h\).

Giải chi tiết

Vì \(\Delta SAC\) cân tại \(S\) nên \(SI \bot AC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SI \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow IB\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

\(\angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;IB} \right) = \angle SBI = {45^0}\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\), có \(AB = a\) nên \(BI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có \(SI \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SI \bot BI\), suy ra tam giác \(SIB\) vuông tại \(I\).

Lại có \(\angle SBI = {45^0}\) nên \(\Delta SIB\) vuông cân tại \(I \Rightarrow SI = IB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}{a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SI = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}}}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Chọn: A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.