Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\), gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Cắt tứ

Câu hỏi số 391609:

Vận dụng

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\), gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Cắt tứ diện bởi mặt phẳng \(\left( {GCD} \right)\) thì diện tích của thiết diện là:

A. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\)

B. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391609

Phương pháp giải

- Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {GCD} \right)\).

- Chứng minh thiết diện là tam giác cân.

- Tính diện tích thiết diện.

Giải chi tiết

Gọi \(N,\,\,I\) là trung điểm của \(AB,\,\,CD\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(N,\,\,G,\,\,C\) thẳng hàng.

Do đó, thiết diện của tứ diện \(ABCD\) bắt bởi \(\left( {GCD} \right)\) là tam giác \(NCD\).

Tam giác \(ABC\) và \(ABD\) đều, cạnh a \( \Rightarrow NC = ND = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow \Delta NC{\rm{D}}\) cân tại \(N\)\( \Rightarrow NI \bot CD\) (trung tuyến đồng thời là đường cao).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(NI = \sqrt {N{C^2} - I{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \({S_{\Delta NC{\rm{D}}}} = \dfrac{1}{2}NI.C{\rm{D}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\).

Chọn: A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.