Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau Số giá trị nguyên của

Câu hỏi số 391608:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 4x + m} \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;\,\,1} \right)\) là

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(1\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391608

Phương pháp giải

- Tính \(y'\).

- Xét dấu \(y'\) trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = 2\left( {x + 2} \right).f'\left( {{x^2} + 4x + m} \right)\).

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\) thì \(y' < 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\,\,\left( * \right)\).

Với \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) ta có \(x + 2 > 0\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x^2} + 4x + m} \right) < 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).

\( \Leftrightarrow - 2 \le {x^2} + 4x + m \le 8\,\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - {x^2} - 4x - 2\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\m \le - {x^2} - 4x + 8\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.,\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\)

+) Xét hàm số \(y = - {x^2} - 4x - 2\) với \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) ta có:

\(y' = - 2x - 4 < 0,\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

\( \Rightarrow y\left( 1 \right) < y < y\left( { - 1} \right),\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\) hay \( - 7 < y\left( x \right) < 1,\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).

Khi đó, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m \ge 1\).

+) Xét hàm số \(y = - {x^2} - 4x + 8\) với \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) ta có:

\(y' = - 2x - 4 < 0,\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

\( \Rightarrow y\left( 1 \right) < y\left( x \right) < y\left( { - 1} \right),\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\) hay \(3 < y\left( x \right) < 11,\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).

Khi đó, \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le 3\).

Kết hợp các trường hợp ta có \(1 \le m \le 3\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.