Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có cạnh \(AA' = a,\) đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC

Câu hỏi số 391724:

Thông hiểu

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có cạnh \(AA' = a,\) đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 2a\), \(AB = a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ đường thẳng \(AA'\) đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391724

Phương pháp giải

- Khoảng cách từ đường thẳng \(d\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(d\) là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng \(d\) đến mp\(\left( \alpha \right)\).

- Xác định khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng cách tìm hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( {BCC'B'} \right)\).

Giải chi tiết

Do \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ nên \(AA'\parallel BB'\parallel CC' \Rightarrow AA'\parallel \left( {BCC'B'} \right)\)

Do đó, \(d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) qua \(A\) kẻ \(AH \bot BC\,\,\,\left( {H \in BC} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(BB' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BB' \bot AH\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\) hay \(d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AH\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 2a,\,\,AB = \sqrt 3 a\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a.\) .

Do đó, \(AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Vậy \(d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.