Trong không gian cho tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(8\), \(M\) là một điểm tùy ý thỏa mãn

Câu hỏi số 391767:

Vận dụng cao

Trong không gian cho tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(8\), \(M\) là một điểm tùy ý thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 100\). Khi đó, quỹ tích điểm \(M\) là một mặt cầu có bán kính bằng bao nhiêu?

A. \(6\)

B. \(3\sqrt 3 \)

C. \(2\sqrt 3 \)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391767

Phương pháp giải

Biến đổi vecto để đưa về \(MK = x\) với \(x\) là hằng số thì quỹ tích điểm \(M\) là mặt cầu tâm \(K\) có bán kính bằng \(x\).

Giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều có cạn bằng 8 nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\GA = GB = GC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}AB = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 100\\ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} = 100\\ \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + G{A^2} + M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + G{B^2} + M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + G{C^2} = 100\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) = 100\\ \Leftrightarrow 3M{G^2} + 2.\overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0 + 3G{A^2} = 100\\ \Leftrightarrow 3M{G^2} + 3.{\left( {\dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow M{G^2} = 12 \Leftrightarrow MG = 2\sqrt 3 \end{array}\)

Vậy quỹ tích điểm \(M\) là mặt cầu tâm \(G\) có bán kính bằng \(2\sqrt 3 \).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.