Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({4^x} - {3.2^{x + 1}} + m = 0\) có hai

Câu hỏi số 392435:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({4^x} - {3.2^{x + 1}} + m = 0\) có hai nghiệm thực \({x_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} < 2.\)

A. \(0 < m < 2\)

B. \(m > 0\)

C. \(0 < m < 4\)

D. \(m < 9\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:392435

Phương pháp giải

+) Đặt \({2^x} = t{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {t > 0} \right).\)

+) Để phương trình đã cho có 2 nghiệm \({x_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) thì phương trình ẩn t phải có 2 nghiệm t dương phân biệt.

+) Khi đó phương trình có 2 nghiệm \({t_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {t_2}\) với \({t_1} = {2^{{x_1}}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {t_2} = {2^{{x_2}}}\)\( \Rightarrow {x_1} = {\log _2}{t_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2} = {\log _2}{t_2}.\)

+) Áp dụng công thức: \({x_1} + {x_2} = {\log _2}{t_1} + {\log _2}{t_2} = {\log _2}\left( {{t_1}{t_2}} \right).\)

+) Đến đây ta áp dụng điều kiện bài cho và hệ thức Vi-ét với phương trình bậc hai ẩn t để tìm điều kiện của m.

Giải chi tiết

\(Pt \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {3.2.2^x} + m = 0\)\( \Leftrightarrow {2^{2x}} - {6.2^x} + m = 0.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)

Đặt \(t = {2^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {t > 0} \right).\) Khi đó: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 6t + m = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right).\)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm t dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' > 0}\\{{t_1} + {t_2} > 0}\\{{t_1}{t_2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9 - m > 0}\\{3 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }\\{m > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 9.\)

Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: \({x_1} = {\log _2}{t_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2} = {\log _2}{t_2}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x_1} + {x_2} < 2 \Leftrightarrow {\log _2}{t_1} + {\log _2}{t_2} < 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{t_1}{t_2}} \right) < 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}m < 2\\ \Leftrightarrow m < {2^2} \Leftrightarrow m < 4.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có: \(0 < m < 4\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.