Cho hai điểm \(M\left( {3;\,\,1} \right)\) và \(I\left( {2;\,\, - 2} \right)\). Có bao nhiêu đường thẳng

Câu hỏi số 394110:

Vận dụng

Cho hai điểm \(M\left( {3;\,\,1} \right)\) và \(I\left( {2;\,\, - 2} \right)\). Có bao nhiêu đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và cắt trục \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) cân tại \(I\)?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:394110

Phương pháp giải

+ Viết phương trình đoạn chắn đi qua \(M\) và cắt trục \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A\) và \(B\).

+ Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\), tam giác \(IAB\) cân tại \(I\)\( \Leftrightarrow IN \bot AB\)

Giải chi tiết

Giả sử đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) cắt trục \(Ox\) và \(Oy\)lần lượt tại hai điểm \(A\left( {a;\,\,0} \right)\) và \(B\left( {0;\,\,b} \right)\), \(a\,.\,\,b \ne 0\).

Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Vì đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {3;\,\,1} \right)\) nên ta có: \(\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1\)

Gọi \(N\left( {{x_N};\,\,{y_N}} \right)\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = \frac{{a + 0}}{2}\\{y_N} = \frac{{b + 0}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = \frac{a}{2}\\{y_N} = \frac{b}{2}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {\frac{a}{2};\,\,\frac{b}{2}} \right)\)

Ta có:

+) \(I\left( {2;\,\, - 2} \right);\,\,N\left( {\frac{a}{2};\,\,\frac{b}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IN} = \left( {\frac{a}{2} - 2;\frac{b}{2} + 2} \right) = \left( {\frac{{a - 4}}{2};\frac{{b + 4}}{2}} \right) = \left( {a - 4;\,\,b + 4} \right)\)

+) \(A\left( {a;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - a;\,\,b} \right)\)

\(\Delta IAB\) cân tại \(I\)\( \Leftrightarrow IN \bot AB \Leftrightarrow \overrightarrow {IN.} \overrightarrow {AB} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {a - 4} \right)\left( { - a} \right) + b\left( {b + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - {a^2} + 4a + {b^2} + 4b = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{b^2} - {a^2}} \right) + \left( {4a + 4b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) + 4\left( {b + a} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {b - a + 4} \right)\left( {b + a} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b - a + 4 = 0\\b + a = 0\end{array} \right.\)

- Trường hợp 1: \(b - a + 4 = 0 \Rightarrow a - b = 4 \Leftrightarrow a = b + 4\)

Thay \(a = b + 4\) vào CT \(\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1\) ta có:

\(\frac{3}{{b + 4}} + \frac{1}{b} = 1 \Leftrightarrow 3b + \left( {b + 4} \right) = b\left( {b + 4} \right) \Leftrightarrow 3b + b + 4 = {b^2} + 4b \Leftrightarrow {b^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 2\\b = 2\end{array} \right.\)

Với \(b = - 2\) \( \Rightarrow a = 2\). Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\)

Với \(b = 2 \Rightarrow a = 6\). Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\frac{x}{6} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{6} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x + 3y - 6 = 0\)

- Trường hợp 2: Thay \(b = - a\) vào công thức \(\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1\) ta được: \(\frac{3}{a} - \frac{1}{a} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{a} = 1 \Rightarrow a = 2\)

Với \(a = 2 \Rightarrow b = - 2\). Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\)

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(x - y - 2 = 0\) hoặc \(x + 3y - 6 = 0.\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.