Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để bất phương trình sau: \(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} -
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để bất phương trình sau: \(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {(3 + x)(6 - x)} \le m\) đúng \(\forall x \in \left[ { - 3;6} \right].\)
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình bậc hai.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm khoảng giá trị của ẩn, sau đó vẽ bảng biến thiên đưa ra kết luận.
\(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {(3 + x)(6 - x)} \le m\,\,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \( - 3 \le x \le 6.\)
Đặt \(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} = a \ge 0.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} = {\left( {\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} } \right)^2} = 9 + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \ge 9\\ \Rightarrow a \ge 3.\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm \(\sqrt {3 + x} \) và \(\sqrt {6 - x} \) ta có:
\(2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \le 3 + x + 6 - x = 9\)
\( \Rightarrow {a^2} \le 9 + 9 = 18 \Rightarrow a \le 3\sqrt 2 .\)
Vậy \(3 \le a \le 3\sqrt 2 .\)
Vì \({a^2} = 9 + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \Rightarrow \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} = \frac{{{a^2} - 9}}{2}.\)
Bất phương trình trở thành: \(a - \frac{{{a^2} - 9}}{2} \le m \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - {a^2} + 2a + 9}}{2}.\)
Xét hàm số \(f\left( a \right) = - {a^2} + 2a + 9\) với \(3 \le a \le 3\sqrt 2 .\)
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra \(f\left( a \right) \le 6\) với \(3 \le a \le 3\sqrt 2 .\)
Vậy để \(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {(3 + x)(6 - x)} \le m\) đúng \(\forall x \in \left[ { - 3;6} \right]\) thì \(m \ge \frac{{\max f\left( a \right)}}{2} \Leftrightarrow m \ge 3.\)
Đáp án cần chọn là: B
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
