Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình sau: \(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} -

Câu hỏi số 396308:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình sau: $\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {(3 + x)(6 - x)} \le m$ đúng $\forall x \in \left[ { - 3;6} \right].$

$m < 3$

$m\geq 3$

$m\leq 3$

$m\neq 3$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396308

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình bậc hai.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm khoảng giá trị của ẩn, sau đó vẽ bảng biến thiên đưa ra kết luận.

Giải chi tiết

$\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {(3 + x)(6 - x)} \le m\,\,\,\,\left( * \right)$

Điều kiện: $- 3 \le x \le 6.$

Đặt $\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} = a \ge 0.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} = {\left( {\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} } \right)^2} = 9 + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \ge 9\\ \Rightarrow a \ge 3.\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm $\sqrt {3 + x}$ và $\sqrt {6 - x}$ ta có:

$2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \le 3 + x + 6 - x = 9$

$\Rightarrow {a^2} \le 9 + 9 = 18 \Rightarrow a \le 3\sqrt 2 .$

Vậy $3 \le a \le 3\sqrt 2 .$

Vì ${a^2} = 9 + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \Rightarrow \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} = \frac{{{a^2} - 9}}{2}.$

Bất phương trình trở thành: $a - \frac{{{a^2} - 9}}{2} \le m \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - {a^2} + 2a + 9}}{2}.$

Xét hàm số $f\left( a \right) = - {a^2} + 2a + 9$ với $3 \le a \le 3\sqrt 2 .$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra $f\left( a \right) \le 6$ với $3 \le a \le 3\sqrt 2 .$

Vậy để $\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {(3 + x)(6 - x)} \le m$ đúng $\forall x \in \left[ { - 3;6} \right]$ thì $m \ge \frac{{\max f\left( a \right)}}{2} \Leftrightarrow m \ge 3.$

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Click để xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.