Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(AB = 3a,\,\,BD = 5a,\,\,A'C = a\sqrt {26} \). \(M\) là
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(AB = 3a,\,\,BD = 5a,\,\,A'C = a\sqrt {26} \). \(M\) là trung điểm \(BC\). Tính \(d\left( {BD;B'M} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD\) ta có \(MN\parallel BD\parallel B'D'\) (đường trung bình) nên \(M,\,\,N,\,\,B',\,\,D'\) đồng phẳng.
\( \Rightarrow BD\parallel \left( {B'MND'} \right) \supset B'M\)
\( \Rightarrow d\left( {BD;B'M} \right) = d\left( {BD;\left( {B'MND'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {B'MND'} \right)} \right)\).
Ta có: \(BC \cap \left( {B'MND'} \right) = M\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {B'MND'} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {B'MND'} \right)} \right)}} = \dfrac{{BM}}{{CM}} = 1\\ \Rightarrow d\left( {B;\left( {B'MND'} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {B'MND'} \right)} \right)\end{array}\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {B'MND'} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = B'M\\\left( {B'MND'} \right) \cap \left( {CDD'C'} \right) = D'N\\\left( {BCC'B'} \right) \cap \left( {CDD'C'} \right) = CC'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B'M,\,\,D'N,\,\,CC'\) đồng quy tại \(S\) và \(\left( {B'MND'} \right) \equiv \left( {SB'D'} \right)\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{SC}}{{SC'}} = \dfrac{{CM}}{{B'C'}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow C\) là trung điểm của \(SC'\).
Ta có: \(CC' \cap \left( {SB'D'} \right) = S\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {B'MND'} \right)} \right)}}{{d\left( {C';\left( {B'MND'} \right)} \right)}} = \dfrac{{d\left( {C;\left( {SB'D'} \right)} \right)}}{{d\left( {C';\left( {SB'D'} \right)} \right)}} = \dfrac{{SC}}{{SC'}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow d\left( {C;\left( {B'MND'} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C';\left( {B'MND'} \right)} \right)\end{array}\)
Trong \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) kẻ \(C'H \bot B'D'\,\,\left( {H \in B'D'} \right)\), trong \(\left( {SB'D'} \right)\) kẻ \(C'K \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B'D' \bot C'H\\B'D' \bot SC'\end{array} \right. \Rightarrow B'D' \bot \left( {SB'D'} \right) \Rightarrow B'D' \bot C'K\\\left\{ \begin{array}{l}C'K \bot SH\\C'K \bot B'D'\end{array} \right. \Rightarrow C'K \bot \left( {SB'D'} \right)\\ \Rightarrow d\left( {C';\left( {SB'D'} \right)} \right) = C'K = d\left( {C';\left( {B'MND'} \right)} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow d\left( {BD;B'M} \right) = \dfrac{1}{2}C'K\).
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(\begin{array}{l}AD = \sqrt {B{D^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {5a} \right)}^2} - {{\left( {3a} \right)}^2}} = 4a\\AC = BD = 5a\\AA' = \sqrt {A'{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt {26} } \right)}^2} - {{\left( {5a} \right)}^2}} = a\end{array}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ta có:
\(\begin{array}{l}C'H = \dfrac{{B'C'.C'D'}}{{B'D'}} = \dfrac{{4a.3a}}{{5a}} = \dfrac{{12a}}{5}\\C'K = \dfrac{{SC'.C'H}}{{\sqrt {SC{'^2} + C'{H^2}} }} = \dfrac{{2a.\dfrac{{12a}}{5}}}{{\sqrt {4{a^2} + \dfrac{{144{a^2}}}{{25}}} }} = \dfrac{{12a}}{{\sqrt {61} }}\end{array}\)
Vậy \(d\left( {BD;B'M} \right) = \dfrac{{6a}}{{\sqrt {61} }}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
