Cho hàm số: y= (a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (HS tự làm). (b) Tìm a,b để đường thẳng (d): y=ax+b cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng (∆): x-2y+3=0.

Câu hỏi số 3991:

Cho hàm số: y= $\frac{x-1}{x+1}$ (a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (HS tự làm). (b) Tìm a,b để đường thẳng (d): y=ax+b cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng (∆): x-2y+3=0.

A. a=3,b=-1

B. a=-2,b=-1

C. a=-2,b=0

D. a=-2,b=2

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3991

Giải chi tiết

a. học sinh tự giải

Hai điểm A,B phân biệt đối xứng qua (∆) <=> AB⊥(∆)

Trung điểm I của đoạn AB nằm trên ∆.

với bài toán đang xét, ta sẽ phải có:

AB=(C) ∩ d; AB⊥∆;

Trung điểm I của đoạn AB thuộc ∆

Ở trong bài, A,B=d ∩ (C) => AB ≡ d. Vậy trước hết ta phải có d⊥∆ hay hệ số góc của d và ∆ có tích bằng -1

∆: x-2y+3=0 <=> y= $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{3}{2}$

d: y=ax+b

Vậy ∆⊥d <=> $\frac{1}{2}$ .a=-1 <=> a=-2

Khi đó d có dạng: y=-2x+b

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) có dạng:

$\frac{x-1}{x+1}$ =-2x+b <=> $\left\{\begin{matrix} x\neq -1\\x-1=(x+1)(-2x+b) (2^{o}) \end{matrix}\right.$

(2⁰)<=> 2x²-(b-3)x-(b+1)=0 (3⁰)

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B nếu (3⁰) có hai nghiệm phân biệt khác -1.

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} \Delta _{(3^{0})}>0\\2(-1)^{2}-(b-3)(-1)-b-1\neq 0 \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} (b-3)^{2}+8(b+1)>0\\-2\neq 0 \end{matrix}\right.$ (luôn đúng)

<=> b²+2b+17>0 (luôn đúng)

Vậy với mọi b thì d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B.

Giả sử: A(x₁;y₁); B(x₂;y₂)

Khi đó x₁,x₂ là hai nghiệm phân biệt của (3⁰)

y₁=-2x₁+b; y₂=-2x₂+b

Gọi I(x_I;y_I) là trung điểm đoạn AB, khi đó:

x_I= $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ = $\frac{b-3}{4}$

y_I= $\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$ = $\frac{-2x_{1}+b-2x_{2}+b}{2}$ = -(x₁+x₂)+b = $\frac{-b+3}{2}$ +b= $\frac{b+3}{2}$

Vậy I( $\frac{b-3}{4}$ ; $\frac{b+3}{2}$ )

Từ đó: I∈∆ <=> -2y_I+x_I+3=0

<=> $\frac{b-3}{4}$ - 2. $\frac{b+3}{2}$ +3=0 <=> b=-1

Kết luận: khi a=-2,b=-1 thì d: y=ax+b cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua ∆:x-2y+3=0.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.