Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(CD\) vuông góc với nhau.

Câu hỏi số 399199:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(CD\) vuông góc với nhau. Gọi \(M\) là điểm di động trên đoạn thẳng \(OB\,\,\left( {M \ne O,\,\,M \ne B} \right).\) Tia \(CM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(N;\,\,BD\) cắt \(CN\) tại \(P;\,\,AN\) cắt \(CD\) tại \(Q.\)

a) Chứng minh \(PQ\,{\rm{//}}\,{\rm{AB}}{\rm{.}}\)

b) Chứng minh \(\Delta CAQ\) đồng dạng với \(\Delta AMC,\) từ đó suy ra diện tích tứ giác \(ACMQ\) không đổi khi \(M\) di động trên đoạn thẳng \(OB.\)

c) Chứng minh hệ thức \(\frac{{CQ}}{{AM}} = {\left( {\frac{{CN}}{{AN}}} \right)^2}.\)

d) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên đoạn thẳng \(OB\) để \(NQ\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CPQ.\) Tính \(OM\) theo \(R\) trong trường hợp đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399199

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(PQ \bot CD.\)

b) Sử dụng tam giác đồng dạng.

c) Sử dụng giác đồng dạng đưa ra các tỉ số.

d) Giả sử NP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ, sau đó biến đổi tương đương suy luận ngược tìm vị trí điểm M.

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(PQ\,{\rm{//}}\,{\rm{AB}}{\rm{.}}\)

Vì \(AB \bot CD\) nên \(sd\,\,cung\,\,CA = sd\,\,cung\,\,CB \Rightarrow \angle CNA = \angle CDB\) hay \(\angle PNQ = \angle PDQ\)

Suy ra tứ giác \(PQDN\) nội tiếp, suy ra \(\angle PND + \angle PQD = {180^0}\) mà \(\angle PND = {90^0} \Rightarrow \angle PQD = {90^0}\)

\( \Rightarrow PQ \bot CD \Rightarrow PQ\,{\rm{//}}\,AB.\)

b) Chứng minh \(\Delta CAQ\) đồng dạng với \(\Delta AMC,\) từ đó suy ra diện tích tứ giác \(ACMQ\) không đổi khi \(M\) di động trên đoạn thẳng \(OB.\)

Xét \(\Delta CAQ\) và \(\Delta AMC\) có \(\angle ACQ = \angle MAC = {45^0},\)

Lại có \(CAQ = AMC\,\,\left( {sdcungAC + sdcungBN = sdcungBC + sdcungBN} \right)\)

Nên \(\Delta CAQ \sim \Delta AMC\,\,\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{CA}}{{AM}} = \frac{{CQ}}{{AC}} \Rightarrow AM.CQ = A{C^2} = 2{R^2}.\)

Tứ giác ACMQ có \(AM \bot CQ\) nên \({S_{ACMQ}} = \frac{{AM.CQ}}{2} = {R^2}.\)

Vậy diện tích tứ giác ACMQ không đổi khi M chuyển động trên đoạn thẳng OB.

c) Chứng minh hệ thức \(\frac{{CQ}}{{AM}} = {\left( {\frac{{CN}}{{AN}}} \right)^2}.\)

\(\Delta CAQ \sim \Delta AMC\,\, \Rightarrow \frac{{CA}}{{AM}} = \frac{{CQ}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{CQ}}{{AM}} = {\left( {\frac{{CA}}{{AM}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{AQ}}{{MC}}} \right)^2}\,\,\left( 1 \right).\)

\(\begin{array}{l}\Delta COM \sim \Delta CND\\ \Rightarrow \frac{{CM}}{{CD}} = \frac{{CO}}{{CN}} \Rightarrow CM.CN = CD.CO = 2R.R = 2{R^2}.\end{array}\)

Tương tự ta cũng có \(AQ.AN = 2{R^2}\)

\( \Rightarrow CM.CN = AQ.AN \Rightarrow \frac{{AQ}}{{MC}} = \frac{{CN}}{{AN}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \frac{{CQ}}{{AM}} = {\left( {\frac{{CN}}{{AN}}} \right)^2}.\)

d) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên đoạn thẳng \(OB\) để \(NQ\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CPQ.\) Tính \(OM\) theo \(R\) trong trường hợp đó.

Ta có tứ giác \(PQDN\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle PQN = \angle PDN\)

Mà \(\angle PDN = \angle BCN \Rightarrow \angle PQN = \angle BCN.\)

\( \Rightarrow NQ\) là tiếp tuyến của đườn tròn ngoại tiếp \(\Delta CPQ\) khi \(\angle PQN = \angle PCQ.\)

Do đó \(\angle BCN = \angle PCQ\) hay \(sdcungBn = sdcungND.\)

Suy ra \(CN\) là phân giác \(\angle OCB.\)

Ta có: \(\Delta BOC\) BOC vuông tại cân \(O\) \( \Rightarrow BC = R\sqrt 2 .\)

Vì \(CM\) là phân giác của tam giác BOC nên \(\frac{{OM}}{{MB}} = \frac{{OC}}{{CB}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Lại có \(OM + MB = R \Rightarrow OM = R\left( {\sqrt 2 - 1} \right).\)

Vậy khi \(OM = R\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\) thì \(NQ\) là tiếp tuyến của đườn tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta CPQ.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link